Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

20
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
ааа
А
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Определение.
Матрицей, присоединенной к матрице
А
, называется
матрица вида
=
nnnn
n
n
AAA
AAA
ААА
С
...
............
...
...
21
22212
12111
,
где
ij
A - алгебраическое дополнение элемента
ij
a матрицы
A
.
Заметим, что алгебраические дополнения элементов
i -строки матрицы
A
расположены в j -столбце матрицы
C
.
Теорема 2.3.1: Если
А
- квадратная матрица n-го порядка и
С
–
присоединенная к ней матрица, то
A
Е
А
С
С
А
de
t
=⋅=⋅ , (1.11)
где
E
– единичная матрица n-го порядка.
Теорема 2.3.2: Для того чтобы существовала матрица
1−
А
, обратная к
матрице
A
, необходимо и достаточно, чтобы матрица
A
была невырожденной.
Доказательство.
1) Необходимость:
Дано: Существует
1−
А
.
Доказать:
А
– невырожденная матрица.
Так как существует
1
−
A
, то
Е
А
А
=
⋅
−
1
, следовательно,
(
)
EAA detdet
1
=⋅
−
. По теореме 2.2.2, получим
E
detdetdet
1
=
⋅
−
. Так как
1de
t
=
E
, то получим, что 0de
t
≠
A
, значит,
A
- невырожденная матрица.
2) Достаточность:
Дано:
А
– невырожденная матрица.
Доказать: Существует
1
−
А
.
Так как
А
– невырожденная матрица, то 0de
t
≠
A
. Докажем, что
матрица
C
A
⋅
de
t
1
является обратной к матрице
А . Воспользуемся теоремой
2.3.1, разделив равенство (1.11) на число
A
de
t
, неравное нулю. 
         Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:

              а11     а12    ... а1n 
                                       
             a        a 22   ... a 2 n 
         А =  21                         .
                 ...    ...   ... ... 
                                      
               a n1   an2    ... a nn 

      Определение. Матрицей, присоединенной к матрице А , называется
матрица вида

              А11     А21 ...    Аn1 
                                      
             A        A22    ... An 2 
         С =  12                        ,
                ...     ...   ... ... 
                                     
               A1n    A2 n   ... Ann 

      где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A .
      Заметим, что алгебраические дополнения элементов i -строки матрицы
A расположены в j -столбце матрицы C .
      Теорема 2.3.1: Если А - квадратная матрица n-го порядка и С –
присоединенная к ней матрица, то

         А ⋅ С = С ⋅ А = Е det A ,                                          (1.11)

        где E – единичная матрица n-го порядка.
        Теорема 2.3.2: Для того чтобы существовала матрица А −1 , обратная к
матрице A , необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.
        Доказательство.
1) Необходимость:
        Дано: Существует А−1 .
        Доказать: А – невырожденная матрица.
        Так     как    существует      A −1 ,  то     А ⋅ А −1 = Е , следовательно,
     (   −1
            )                                                     −1
det A ⋅ A = det E . По теореме 2.2.2, получим det A ⋅ det A = det E . Так как
det E = 1, то получим, что det A ≠ 0 , значит, A - невырожденная матрица.
2) Достаточность:
        Дано: А – невырожденная матрица.
        Доказать: Существует А−1 .
        Так как А – невырожденная матрица, то det A ≠ 0 . Докажем, что
             1
матрица          ⋅ C является обратной к матрице А . Воспользуемся теоремой
           det A
2.3.1, разделив равенство (1.11) на число det A , неравное нулю.

20

Страницы