Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 20 стр.

чисел m и n . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов,
образуют матрицу порядка s . Определитель этой матрицы называется минором
порядка s матрицы А .
         Пример 20.
                      1 − 2 3 4 5
                                      
         Дана матрица  0 − 4 1 2 7  .
                      1 − 7 3 6 8
                                      
         Взяв первую и вторую строку, третий и четвертый столбец, получим
                           3 4                      3 4
матрицу второго порядка       , и ее определитель     является минором
                           1 2                      1 2
второго порядка для исходной матрицы.
         Аналогично можно получить и другие миноры второго порядка, а также
миноры третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными
нулю.
         Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее
миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг
матрицы равен нулю. Обозначается ранг матрицы А следующим образом:
r ( A) .
     Из определения ранга получаем следующие утверждения:
      1. Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и
меньшим из чисел m и n , т.е. 0 ≤ r ≤ min (m, n ) .
        2. Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица
является нулевой.
        3. Для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только
тогда, когда матрица невырожденная.
        Пример 21. Найти ранг матрицы:
             1 0 2 0
                        
        А =  3 0 6 0 .
              5 0 10 0 
                        
       Среди миноров первого порядка этой матрицы (ее элементов) есть
отличный от нуля, следовательно, r > 0 . Из элементов данной матрицы можно
составить миноры второго и третьего порядков, но все они равны нулю,
поэтому, r ( A) = 1 .
        Замечание. Указанный способ нахождения ранга матрицы не всегда
удобен, так как часто связан с вычислением большого числа определителей.
        Теорема 2.4.1: Ранг матрицы, полученной из данной элементарными
преобразованиями, равен рангу данной матрицы. (То есть элементарные
преобразования не меняют ранга матрицы.)
        Эту теорему удобно использовать при вычислении ранга.

22