Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 21 стр.

      Итак, с помощью элементарных преобразований матрицу                      А(m× n )
приводят к ступенчатому виду:

        a11    a12      a13     ...   a1r     ...   a1n 
                                                          
        0      a 22    a 23 ... a 2 r         ...   a 2n 
        0        0     a33      ... a3r       ...   a 3n  = B .
                                                          
        ...     ...      ...    ... ...       ...    ... 
        0        0       0      ... a mr      ...   a mn 
       

          Так как ее минор с главной диагональю а11 , а 22 , ..., а mr равен
произведению a11 ⋅ a 22 ⋅ K ⋅ a mr , отличному от нуля, а все миноры более
высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки), то по
определению ранг матрицы В равен m (то есть числу ненулевых строк). Так
как матрица В получена из матрицы А путём элементарных преобразований,
то по теореме 2.4.1 r ( A) = m .
          Пример 22. Найти ранг матрицы:
       1 2 3 5  ⋅ (− 3) ⋅ (− 5)  1 2       3   5              1 2     3   5 
                                                                              
A =  3 −1 4 − 2                  ~  0 − 7 − 5 − 17  ⋅ (− 1) ~  0 − 7 − 5 − 17  ~
       5 3 10 8                     0 − 7 − 5 − 17            0 0     0   0 
                                                              
   1 2       3     5 
~                    
    0   − 7 − 5  − 17  
Отсюда следует, что r ( A) = 2 .

    §5 Системы m–линейных уравнений с n–неизвестными. Метод
Крамера для решения систем n–линейных уравнений с n–неизвестными

       Рассмотрим систему m –линейных уравнений с n –неизвестными:

        a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
        a x + a x + ... + a x = b
        21 1          22 2               2n n       2
                                                      ,                      (1.12)
             .............................. .......
       am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm

      где x1 , x2 ,..., xn - неизвестные, a11 , a12 ,..., amn - коэффициенты при
неизвестных, b1 , b2 ,..., bm - свободные члены.
       Определение. Решением системы (1.12) называется упорядоченный
набор действительных чисел (α1 , α 2 , ..., α n ) таких, что при подстановке их
вместо неизвестных x1 , x2 ,..., xn все уравнения системы (1.12) обращаются в
верные равенства.
                                                                                    23