Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

21
Получим:
EAC
A
CA
A
=⋅⋅=⋅⋅
det
1
det
1
или EAC
A
C
A
A =⋅
⋅=
⋅⋅
det
1
det
1
,
следовательно, по определению обратной матрицы, матрица
C
A
⋅
det
1
является
обратной для матрицы
А
, т.е. C
A
A ⋅=
−
det
1
1
.
В процессе доказательства теоремы получили формулу для нахождения
матрицы, обратной данной:
.
...
............
...
...
det
1
21
22212
12111
1
⋅=
−
nnnn
n
n
AAA
AAA
ААА
A
A
Теорема 2.3.3: Для невырожденной матрицы существует единственная
обратная матрица.
Замечание. Для вырожденной матрицы обратной матрицы не
существует.
Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:
1
,
1
1
tАde
Atde
=
−
2
(
)
,
1
1
AA =
−
−
3
()
.
11
1
−−
−
⋅= ABAB
§4 Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу
A
типа
(
)
nm
×
:
.
...
............
...
...
21
22221
11211
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Определение. Выберем в матрице
A
произвольно
s
различных строк и
s
различных столбцов, причем
(
)
nms ,min1
≤
<
, где
(
)
nm,min - меньшее из 
       Получим:
  1             1                         1           1       
      ⋅ A⋅C =       ⋅ C ⋅ A = E или A ⋅       ⋅ C  =  ⋅ C  ⋅ A = E ,
det A         det A                       det A   det A 
                                                                     1
следовательно, по определению обратной матрицы, матрица                  ⋅ C является
                                                                   det A
                                          1
обратной для матрицы А , т.е. A −1 =          ⋅C .
                                     det A
       В процессе доказательства теоремы получили формулу для нахождения
матрицы, обратной данной:

                        А11           А21    ... Аn1 
                                                      
                  1  A12              A22    ... An 2 
       A −1   =      ⋅                                  .
                det A  ...            ...    ... ... 
                                                     
                         A1n          A2 n   ... Ann 

      Теорема 2.3.3: Для невырожденной матрицы существует единственная
обратная матрица.
       Замечание. Для вырожденной матрицы обратной матрицы не
существует.
       Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

                        1
       1 de t A −1 =         ,
                       de tА


         ( )
       2 A−1
                −1
                     = A,

       3 ( AB )−1 = B −1 ⋅ A −1 .

      §4 Ранг матрицы

       Рассмотрим матрицу A типа (m × n ) :

            a11       a12       ... a1n 
                                          
           a          a 22      ... a 2 n 
       A =  21                             .
               ...      ...      ... ... 
                                         
             a m1     a m2      ... a mn 

      Определение. Выберем в матрице A произвольно s различных строк и
s различных столбцов, причем 1 < s ≤ min (m, n ) , где min(m, n ) - меньшее из

                                                                                   21

Страницы