Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 28 стр.

конец последнего вектора, при условии, что каждый последующий вектор
отложен из конца предыдущего (правило «многоугольника»).

                        Свойства операции сложения векторов
        1) a + b = b + a (коммутативность),
        2) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность),
        3) a + o = a ,
        4) a + (− a ) = o .
        Определение. Разностью двух векторов a и b называется такой вектор
x = a − b , который в сумме с вектором b дает вектор a , т.е.

       a − b = x , если b + x = a .

       Чтобы построить разность a − b двух векторов a и b , нужно отложить
их из одной точки и вектор разности будет направлен из конца второго вектора
(вычитаемого) в конец первого вектора (уменьшаемого) (рис. 6).




                Рисунок 6                                Рисунок 7
      Отметим, что a − b = a + (− b ) , то есть разность a − b равна сумме двух
векторов a и (− b ) , где (− b ) - вектор, противоположный вектору b (рис. 7).
      Определение. Произведением a ≠ 0 на число α ≠ 0 называется вектор
b = αa и удовлетворяющий условиям:
         1. b = α ⋅ a ,
          2. b ↑↑ a , если α > 0 ,
             b ↑↓ a , если α < 0 .
        Очевидно, что b = 0 , если α = 0 или a = 0 .
        Из определения следует, что в результате умножения вектора на
действительное число получается вектор, коллинеарный с данным, то есть
αa ║ a .
                       Свойства умножения вектора на число
          1. α (βa ) = (αβ )a ( α , β ∈ R ),
          2. 1 ⋅ a = a ,
          3. (α + β )a = αa + βa ( α , β ∈ R ),
          4. α (a + b ) = αa + αb ( α ∈ R ).
        Теорема 3.1.1: Для любых двух коллинеарных векторов a и b , где
a ≠ 0 , существует единственное число α такое, что b = αa .

30