Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 30 стр.

       7. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно
зависимы.
      Вывод: система векторов, содержащая более чем три вектора в
трехмерном пространстве, всегда линейно зависима.

     §3 Базис системы векторов. Координаты вектора относительно
базиса. Ортонормированный базис

       Пусть задана некоторая система векторов S . Число векторов в системе
может быть конечным или бесконечным.
       Определение. Подсистема S ′ системы S называется максимально
линейно независимой подсистемой, если она удовлетворяет двум условиям:
      1. S ′ - линейно независима;
      2. при добавлении к системе S ′ любого вектора системы S она
становится линейно зависимой.
       Определение. Базисом системы векторов S называется любая
максимально линейно независимая подсистема системы S .
       Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора этой
плоскости, взятых в определенном порядке. Обозначается {e1, e2 } .
       Базисом в пространстве назовем три некомпланарных вектора, взятых в
определенном порядке. Обозначается {e1 , e2 , e3 }.
       В трехмерном пространстве существует бесконечное множество
базисов.
       Рассмотрим в трехмерном пространстве некоторый базис {e1 , e2 , e3 } и
любой вектор a . Если вектор a представлен в виде линейной комбинации
векторов e1 , e2 , e3 , то есть
          a = xe1 + ye2 + ze3 , то говорят, что вектор a разложен по векторам
базиса,       а       действительные            числа      x, y , z   называются              коэффициентами
разложения.
      Определение. Координатами вектора a в базисе {e1 , e2 , e3 } называются
коэффициенты разложения вектора по векторам базиса и обозначают:
a {x, y, z}{e1 , e2 , e3 } .


                 Некоторые свойства координат векторов
      1. Координаты суммы (разности) двух векторов, заданных своими
координатами в некотором базисе, равны сумме (разности) соответствующих
координат этих векторов, то есть, если            a {a1 , a2 , a3 }{e , e , e } и
                                                                                                   1   2   3

b {b1 , b2 , b3 }{e              } , то
                  1 , e 2 , e3

                                   a ± b = {a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 }{e    e 2 , e3 } .
                                                                          1,



32