Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 29 стр.

        Из теоремы следует, что

        b = αa - необходимое и достаточное условие коллинеарности двух
                 векторов a и b .

     §2 Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Свойства линейно зависимой системы векторов

            Пусть даны векторы a1 , a2 , ..., an и действительные числа α1 , α 2 , ..., α n .
Рассмотрим вектор a = α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an , который называется линейной
комбинацией векторов a1 , a2 , ..., an ; действительные числа α1 , α 2 , ..., α n
называются коэффициентами линейной комбинации.
            Очевидно, что, выбирая другую совокупность чисел β1 , β 2 , ..., β n ,
получим другую линейную комбинацию тех же самых векторов:
b = β1a1 + β 2 a2 + ... + β n an .
            То есть, можно построить бесчисленное множество линейных
комбинаций одной и той же системы векторов.
            Определение. Система векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно
зависимой, если существуют действительные числа α1 , α 2 , ..., α n , из которых
хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация векторов
a1 , a2 , ..., an с этими числами равна нулевому вектору, то есть:

        α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an = 0 .                                            (1.16)

        Если соотношение (1.16) выполняется только при условии
α1 = α 2 = ... = α n = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

                Свойства линейно зависимой системы векторов
       1. Если один из векторов системы нуль-вектор, то вся система векторов
линейно зависима.
       2. Если один из векторов системы является линейной комбинацией
остальных векторов, то вся система векторов линейно зависима (справедливо и
обратное утверждение).
       3. Если часть системы векторов линейно зависима, то вся система
векторов линейно зависима.
       4. Система векторов, состоящая из одного вектора, линейно зависима
тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
       5. Система векторов, состоящая из двух векторов, линейно зависима
тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
       Замечание. Любые два неколлинеарных между собой вектора образуют
линейно независимую систему векторов.
       6. Система векторов, состоящая из трех векторов, линейно зависима
тогда и только тогда, когда они компланарны.
                                                                                           31