Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 35 стр.

        Замечание. Обозначим через α , β , γ         углы между вектором
a {x; y; z}{i , j , k } и осями координат прямоугольной декартовой системы
координат, тогда

                x          y         z
       cosα =     , cos β = , cos γ = ;
                a          a         a

      cos α , cos β , cos γ - называются направляющими косинусами вектора a .
      Аналогично определяются все понятия и формулы этого параграфа на
плоскости.

      §5 Скалярное произведение двух векторов и его свойства

      Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b
называется число, обозначенное a ⋅ b и равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними, то есть

       a ⋅ b = a ⋅ b cos(a , b ) .

      Заметим, что
       a ⋅ b > 0 , если cos (a , b ) > 0 , то есть 0 ≤ (a , b ) < π ;
                                                                   2
       a ⋅b < 0 , если cos (a , b ) < 0 , то есть π < (a , b ) ≤ π ;
                                                     2
       a ⋅b = 0 , если либо a = 0 , либо b = 0 , либо cos(a , b ) = 0 , то есть a ⊥ b .
      Таким образом, скалярное произведение двух ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, то есть

       a ≠ 0, b ≠ 0 : a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b .

       Теорема 3.5.1: Скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений
соответствующих координат, а именно:

       если a = {a1; a2 ; a3}{i ,    j, k }   и b = {b1; b2 ; b3 }{i ,   j, k } ,


       то a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 .

                      Свойства скалярного произведения векторов
       1. a ⋅ b = b ⋅ a (коммутативность);
       2. λa ⋅ b = λ (a ⋅ b ), (λ ∈ R ) ;
       3. (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (дистрибутивность).


                                                                                     37