Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 36 стр.

      4. Скалярный квадрат вектора есть неотрицательное число, причем,
скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда этот вектор
нулевой, то есть

       a ⋅a = a2 ≥ 0 и a2 = 0 ⇔ a = 0.

       Из свойства 4 следует, что

                                 2              2
       a 2 = a ⋅ a ⋅ cos 0 = a ⇒ a 2 = a или a = a 2 .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

       Найдем угол ϕ между ненулевыми векторами a и b .
       Пусть a = {a1; a2 ; a3}{i , j , k } и b = {b1; b2 ; b3 }{i , j , k } .

        Так как a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosϕ , то

                 a ⋅b                 a1b1 + a2b2 + a3b3
       cosϕ =         или cosϕ =                                   .
                 a ⋅b            a12 + a22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32

      §6 Векторное произведение двух векторов и его свойства

       Определение. Аффинный репер R (O; e1 , e2 , e3 ) называется правым, если
из конца вектора e3 поворот от вектора e1 к вектору e2 в плоскости этих
векторов на меньший угол виден против часовой стрелки. В противном случае
репер называется левым (рис. 12).




                                  Рисунок 12
      Аналогично определяется правый (левый) ортонормированный репер.
      Заметим, что если векторы e1 , e2 , e3 образуют правый (левый) репер, то,
поменяв местами два вектора, получим левый (правый) репер.
      При круговой перестановке векторов получаем реперы одинаковой
ориентации, то есть векторы e1 , e2 , e3 ; e3 , e1 , e2 ; e2 , e3 , e1 имеют одинаковую
ориентацию.



38