Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

25
решения задачи методом изображений.
Попробуем найти заряд-изображение q′
заряда q. Предположим, что заряд q′ лежит
в точке D на прямой AB, соединяющей
центр сферы и заряд q (см. рис.). Такое
предположение не лишено смысла. При
приближении к сфере заряда q, распределение индуцированного на сфере
заряда будет симметрично относительно оси, соединяющей заряд
q и центр
сферы, электрическое поле также должно обладать осевой симметрией. Заряд-
изображение q′ не должен изменять симметрию поля и может находиться
только на оси симметрии системы зарядов. Потенциал электрического поля,
создаваемого зарядами q и q′ в произвольной точке C на поверхности сферы
будет равен:
0
1'
4BCCD
C
qq
ϕ
πε
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
. Так как по условию задачи сфера заземлена,
то потенциал любой точки сферы равен нулю. Потребуем, чтобы 0
C
ϕ
=
. Это
условие выполняется, если
CD
BC
qq
′
=−
. Нам необходимо, чтобы это условие
выполнялось для любой точки С на поверхности сферы. Отношение
CD
BC
будет
оставаться постоянным, если треугольники ABC и ACD подобны. Из подобия
треугольников следует, что
AC CD AD
==
AB BC AC
, и, следовательно,
CD AC
'
BC AB
R
qqqq
l
=− =− =− (где учтено, что AB=l и AC=R). Таким образом,
заряд q′, находящийся в точке D (
22
AC
AD= =
AB
R
l
) является зарядом-
изображением заряда q.
Электрическое поле, создаваемое зарядом сферы, неравномерно
распределенным по ее поверхности, в любой точке пространства вне сферы
эквивалентно полю заряда q′. Чему равен заряд сферы? Найдем потенциал в
A
B
C
D
q
q'
R
l
                                              решения    задачи   методом    изображений.
                    C
                                              Попробуем найти заряд-изображение q′
              R
                  q'
                                              заряда q. Предположим, что заряд q′ лежит
                                          q
          A         D    l            B       в точке D на прямой AB, соединяющей
                                              центр сферы и заряд q (см. рис.). Такое
                                              предположение не лишено смысла. При
приближении к сфере заряда q, распределение индуцированного на сфере
заряда будет симметрично относительно оси, соединяющей заряд q и центр
сферы, электрическое поле также должно обладать осевой симметрией. Заряд-
изображение q′ не должен изменять симметрию поля и может находиться
только на оси симметрии системы зарядов. Потенциал электрического поля,
создаваемого зарядами q и q′ в произвольной точке C на поверхности сферы
                         1 ⎛ q      q' ⎞
будет равен: ϕC =             ⎜   +    ⎟ . Так как по условию задачи сфера заземлена,
                        4πε 0 ⎝ BC CD ⎠
то потенциал любой точки сферы равен нулю. Потребуем, чтобы ϕC = 0 . Это
                                              CD
условие выполняется, если q′ = −                 q . Нам необходимо, чтобы это условие
                                              BC
                                                                                CD
выполнялось для любой точки С на поверхности сферы. Отношение                      будет
                                                                                BC
оставаться постоянным, если треугольники ABC и ACD подобны. Из подобия
                                                  AC CD AD
треугольников           следует,     что            =  =   ,        и,      следовательно,
                                                  AB BC AC
         CD     AC      R
q' = −      q=−    q = − q (где учтено, что AB=l и AC=R). Таким образом,
         BC     AB      l
                                                          AC2 R 2
заряд q′, находящийся в точке D ( AD=                        =    ) является зарядом-
                                                          AB l
изображением заряда q.
    Электрическое            поле,   создаваемое        зарядом   сферы,    неравномерно
распределенным по ее поверхности, в любой точке пространства вне сферы
эквивалентно полю заряда q′. Чему равен заряд сферы? Найдем потенциал в



                                                 25

Страницы