Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 27 стр.

    Заряд q и заряд-изображение q′ обеспечивают равенство потенциала нулю
в любой точке поверхности сферы. Таким образом, чтобы заряд сферы был
                   1 q
равен φ A =                        необходимо ввести еще один заряд, создающий на
               4πε 0 l
поверхности сферы такой потенциал. Очевидно, что таким зарядом является
                                    R
точечный заряд q′′ = q                , находящийся в центре сферы. В результате получаем,
                                    l
что для случая не заземленной сферы заряд q имеет два заряда изображения:
               R                R                               R2
заряд q ' = −q   и заряд q′′ = q , находящиеся в точках D ( AD=    ) и А
               l                l                               l
(см.рис.), соответственно. Электрическое поле, создаваемое зарядами q′ и q′′
полностью эквивалентно полю, создаваемому зарядами, индуцированными на
поверхности изолированной сферы в поле заряда q.
    Таким образом, поставленная перед нами задача уже практически решена.
Для того чтобы найти поверхностные плотности зарядов в точках L и K нам
необходимо найти напряженность электрического поля в этих точках,
создаваемого зарядами q, q′ и q′′ (плотность заряда на поверхности проводника
равна: σ = ε 0 E , E – напряженность поля вблизи поверхности проводника). По
принципу суперпозиции проекция напряженности поля на внешнюю нормаль к
поверхности сферы с учетом знаков зарядов равна (предположим, что q>0):
                                                                              ⎛                                ⎞
                                                                              ⎜                  R           R⎟
                                         q′                    q′′                             q           q
               1       q            1                  1                   1 ⎜       q           l           l ⎟=
     EL = −                    −                  +                  = −      ⎜              +           −
              4πε 0 LB     2
                                   4πε 0 DL   2
                                                      4πε 0   AL
                                                                   2
                                                                         4πε 0 ⎛ R ⎞ ⎛  2  2
                                                                                                 R 2
                                                                                                     ⎞
                                                                                                       2
                                                                                                           R2 ⎟
                                                                              ⎜ ⎜l −      ⎟ ⎜R− l ⎟            ⎟
                                                                              ⎜       l                        ⎟
                                                                              ⎝⎝          ⎠ ⎝        ⎠         ⎠
             ⎛ 3                       ⎞
         q ⎜ l + ( l + R ) ( 2l − R) ) ⎟
                           2

    =−
       4πε 0 ⎜
             ⎝     ( l 2
                         − R  ) l ⎟⎠
                             2 2




                                                                 ⎛                             ⎞
                                                                 ⎜                R          R⎟
                                    q′              q′′                         q          q
            1    q           1                  1             1 ⎜       q         l          l ⎟=
    EK =                −                 +               =      ⎜            −          +
         4πε 0 KB    2
                           4πε 0 KD     2
                                             4πε 0 KA   2
                                                            4πε 0 ⎛ R 2 ⎞ ⎛ 2
                                                                                  R2 ⎞
                                                                                       2
                                                                                           R2 ⎟
                                                                 ⎜ ⎜l +    ⎟ ⎜R+ l ⎟           ⎟
                                                                 ⎜       l                     ⎟
                                                                 ⎝⎝        ⎠ ⎝       ⎠         ⎠

        q ⎜ l R ( l + R ) + ( l + R ) ( 2l + R) ) ⎟
            ⎛ 2            2      2     2 2
                                                      ⎞
    =
      4πε 0 ⎜        ( l 2 + R 2 ) ( l + R )2 l       ⎟
                                  2

            ⎝                                         ⎠
                                                               27