Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 29 стр.

рассмотрении реальных полей таких проблем не возникает, так как реальные
проводники всегда имеют конечные размеры. Для калибровки потенциала
можно выбрать произвольное значение в любой точке пространства,
находящейся на конечном расстоянии от нити. Отметим, что разность
потенциалов будет иметь конечное значение даже для бесконечной нити.
       В произвольной точке C цилиндра по принципу суперпозиции потенциал
                                                            λ1           λ
поля нитей будет равен ϕC = −                                    ln r1 − 2 ln r2 + const . Далее мы можем
                                                           2πε 0        2πε 0
найти условия, при которых потенциал в любой точке на поверхности цилиндра
одинаков ( ϕC = const ). Однако мы уже использовали такой подход в задаче №4.
Попробуем пойти другим путем. Вектор напряженности электростатического
поля у поверхности проводника направлен перпендикулярно поверхности
проводника.              Тогда            условие              отсутствия     тангенциальной                компоненты
напряженности электрического поля на поверхности цилиндра можно записать
       ∂ϕC                                                       G G G G G G
так:       = 0 . При этом учтем, что:                            r1 = x1 − R , r2 = x2 − R (см. рис.). В этом
       ∂α
случае:

       ϕC = −
                    1
                 2πε 0
                         (                 G G             1
                                                           2
                                                                            G G     1

                                                                                        )
                             λ1 ln( x12 − 2 x1R + R 2 ) + λ2 ln( x22 − 2 x2 R + R 2 ) + const =
                                                                                    2


                                                                                                        ,
             1
       =−
            πε 0
                   ( λ ln( x
                     1
                              2
                              1   − 2 x1R cos α + R 2 ) + λ2 ln( x22 − 2 x2 R cos α + R 2 ) ) + const

       ∂ϕC     1        λ1 x1R sin α         λ2 x2 R sin α
           =−     ( 2                    + 2                    ) = 0.
       ∂α     πε 0 x1 − 2 x1R cos α + R x2 − 2 x2 R cos α + R 2
                                       2




       Или:                       λ1 x1                      −λ2 x2          . Поскольку        это выражение
                                                  =
                   x − 2 x1R cos α + R
                    2
                    1
                                              2
                                                      x − 2 x2 R cos α + R 2
                                                       2
                                                       2


должно выполняться для любого угла α, мы можем приравнять части
выражения, зависящие и независящие от α. В результате получим: λ2 = −λ1 ,

                                       R2
x1 x2 = R
        2
          , поскольку x1 = L , то x2 =    . Таким образом, изображением нити с
                                                                L
плотностью заряда λ1 является нить с плотностью заряда -λ1, отстоящая от оси
                            R2
цилиндра на расстояние x2 =    . Отметим, что рассмотренное условие
                            L

                                                                    29