Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 35 стр.

Полученное таким способом значение поверхностной плотности заряда,
естественно, совпадает с ответом к задаче №8, однако решение заметно короче.


     Задача №11: Незаряженный проводящий шар поместили во внешнее
однородное     электрическое     поле     напряженностью      E0 .   Найти         модуль
результирующий       электрической        силы,   которая    действует        на     весь
индуцированный заряд одного знака.
     Решение: Из решения предыдущей задачи следует, что на поверхности
шара    появится    индуцированный        заряд   с   поверхностной      плотностью
σ = σ 0 cosθ , где σ 0 – постоянная, θ - полярный
                                                                     Rsinθ          Rdθ
угол. Соответственно, одна половина шара будет
                                                             dS          R
заряжена положительным зарядом, а вторая
                                                                     θ
отрицательным.     Рассмотрим     одну     половину                      dθ
шара.    Сила,     действующая       на     единицу
                                      dF σ 2
поверхности, определяется выражением:   =     (формула 11). В качестве
                                      dS 2ε 0
элемента поверхности dS можно выбрать кольцо радиусом R sin θ и шириной
Rdθ . Тогда dS = 2π R 2 sin θ dθ , а сила, действующая на такое кольцо, равна:
     σ2             πσ 02 R 2
dF =      cosθ dS =           cos3 θ sin θ dθ . Суммарная сила, действующая на
     2ε 0             ε0

                                       πσ 02 R 2 π /2 3             πσ 2 R 2
половину шара, будет равна: F = ∫ dF =          ⋅ ∫ cos θ sin θ dθ = 0 . С
                                         ε0       0
                                                                     4ε 0

                                                                9
учетом того, что σ 0 = 3ε 0 E0 , получим итоговое выражение: F = πε 0 E02 R 2 .
                                                                4


     Задача №12. Проводящая заряженная плоскость со сферическим выступом
радиуса R имеет потенциал V. Найти распределение заряда на плоскости.
     Решение: Данная задача является хорошим примером еще раз наглядно
подтверждающим значимость теоремы о единственности решения уравнения
Лапласа. Для решения нашей задачи, попробуем найти распределение заряда,
поле которого эквивалентно полю плоскости со сферическим выступом.
                                           35