Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 36 стр.

     В Задаче №10 мы показали, что поле, создаваемое проводящим шаром,
находящимся в однородном электрическом поле, эквивалентно полю диполя:
 G            G
p = 4πε 0 R 3 E0 ( E0 - напряженность внешнего поля, направленного вдоль оси z).
Потенциал поля в любой точке пространства вне шара по принципу
суперпозиции        равен:    ϕ1 = ϕвн.поля + ϕшара .    Потенциал    поля,          создаваемого

зарядами, индуцированными на поверхности шара, есть потенциал поля
                               GG
диполя: ϕшара =
                      GG
                 1 ( pr )
                          =R 3
                               E0r    ( )R3
                                   = E0 z 3 . Потенциал внешнего поля:
                4πε 0 r 3      r3        r
ϕвн.поля = − E0 z + const   (для однородного электрического поля калибровка
ϕ∞ = 0 не применима). В результате получаем:
               ⎛ R3 ⎞                      ⎛ R3 ⎞
     ϕ1 = E0 z ⎜1 − 3 ⎟ + const = const1 z ⎜1 − 3 ⎟ + const .
               ⎝   r ⎠                     ⎝   r ⎠

     Теперь вернемся к нашей задаче о плоскости со сферическим выступом и
сравним граничные условия в исходной задаче и для проводящего шара в
однородном        поле.      Если    обе      задачи       имеют
                                                                                     z
одинаковые граничные условия, то в силу теоремы о
                                                                     r ( x, y, z )
единственности решения уравнения Лапласа, обе
                                                                                θ
задачи будут иметь одинаковое решение. На всей                                        R
поверхности        проводящей       плоскости           потенциал
постоянен: ϕпл = V . На поверхности плоскости вне сферического выступа ( z = 0 )
ϕ1 = const , на поверхности сферического выступа ( z = R ) - ϕ1 = const (см.
выражение для потенциала ϕ1 ). Таким образом, задача о нахождении
электрического поля вне проводящей плоскости со сферическим выступом
эквивалентна задаче о поле проводящего шара в однородном электрическом
поле. Подчеркнем еще раз, что это утверждение является строгим, в силу
теоремы о единственности решения уравнения Лапласа. Задача о шаре в
однородном внешнем поле имеет ту же симметрию, что и проводящая
плоскость со сферическим выступом (аксиальная симметрия относительно оси
z), что является дополнительным фактом, свидетельствующим в пользу

                                               36