Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 37 стр.

сделанного нами вывода. Таким образом, потенциал поля проводящей
                                                ⎛ R3 ⎞
плоскости с выступом имеет вид: ϕ пл = const1 z ⎜1 − 3 ⎟ + const .
                                                ⎝   r ⎠

     Поскольку мы знаем потенциал в каждой точке пространства выше
проводящей          плоскости,            стоящая          перед            нами    задача   о   нахождении
распределения заряда на поверхности плоскости со сферическим выступом уже
практически             решена.            Поверхностная                     плотность       заряда   равна:
                   ∂ϕпл
σ = ε 0 E = −ε 0        .
                    ∂n
     На плоскости:
                ∂ϕ пл       ∂ϕ пл                 ⎛ R3 ⎞         ⎛ R3 ⎞
     σ = −ε 0                 = −ε 0 = −ε 0const1 ⎜1 − 3 ⎟ = σ 0 ⎜1 − 3 ⎟ ,
                 ∂nz =0      ∂z z =0              ⎝   r ⎠        ⎝   r ⎠
                                G
где σ 0 = −ε 0const1 , вектор r направлен вдоль плоскости. На поверхности
сферического выступа:
                ∂ϕпл                   ∂ϕ пл
     σ = −ε 0                 = −ε 0                 = −3ε 0const1 cosθ = 3σ 0 cosθ .
                 ∂n     r=R             ∂r     r=R

     Значение σ 0 зависит от калибровки потенциала. Из вида потенциала
понятно, что привычная калибровка ϕ∞ = 0 не применима к данной задаче
(также как для задачи о проводящем шаре в однородном электрическом поле).
В условии задачи нам указано только значение потенциала на плоскости, из
которого следует, что const = V . Для определения значения const1 и,
соответственно, σ 0 необходимо знать значение потенциала в какой либо точке
пространства выше проводящей плоскости.
     Интересно отметить, что если на проводящей плоскости будет не выступ, а
впадина, то плотность заряда на поверхности сферы изменит знак.
Действительно, в этом случае направление нормали к поверхности будет
противоположно направлению радиус-вектора r, и поверхностная плотность
                                         ∂ϕпл                  ∂ϕпл
заряда будет равна: σ = −ε 0                            = ε0                = −3σ 0 cosθ .
                                          ∂n     r =R           ∂r    r=R




                                                           37