Основы автоматики и системы автоматического управления. Муромцев Ю.Л - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.2. Комплексная плоскость
Критерии, которые позволяют определить, устойчива ли система, с помощью только алгебраических про-
цедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют алгебраическими
.
Критерий Гурвица.
Для применения данного критерия составляется
nn
×
матрица из коэффициентов ха-
рактеристического уравнения. По главной диагонали в матрице размещаются элементы
n
aaa
...,,,
21
. Затем
столбцы матрицы дополняются снизу и сверху коэффициентами следующим образом:
nn
n
aa
a
aa
aaa
aaa
2
1
31
420
531
000
0000
000
00
00
−
−
K
K
MMMMMMMM
K
K
K
. (3.5)
Если индекс коэффициента меньше нуля или больше
n
, а также при отсутствии данного коэффициента в
характеристическом уравнении, на соответствующее место в матрице (3.5) записывается нуль.
Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось неравенство
0
0
>a
и определители Гурвица
n
∆,...,∆,∆
21
были положительны. Для
характеристических уравнений с большим
n
порядок определителей возрастает, и практическое вычисление их
обычным путём становится громоздким. В этих случаях можно использовать необходимое (но недостаточное)
условие устойчивости, которое заключается в том, что в случае уравнения
п
-го порядка все коэффициенты
01
,...,,
aaa
nn
−
должны быть положительны и ни один из них не должен равняться нулю.
Используя критерий Гурвица, запишем условия устойчивости для систем с
3,2
=
n
.
Пусть
(
)
0
01
2
2
=++=
apapapB
; т.е.
2
=
n
, тогда система устойчива, если
0
0
,0;0
21
20
1
2110
>==∆>=∆>
aa
aa
a
aa
; или
0,0,0
210
>>>
aaa
.
Для случая
3
=
n
, т.е.
(
)
0
01
2
2
3
3
=+++=
apapapapB
из рассмотрения определителей Гурвица
20
31
2
aa
aa
=∆
и
31
20
31
3
0
0
0
aa
aa
aa
=∆
следует, что условия устойчивости имеют вид:
0,0,0,0
3302110
>>−>>
aaaaaaa
.
Система находится на границе устойчивости, если определители Гурвица
11
,...,
−
∆∆
n
положительны, а
главный определитель
1
,
−
∆
nn
a
равен нулю.
Широкое распространение на практике получили частотные критерии устойчивости, которые позволяют
обойтись без вычисления корней характеристического уравнения. В этих критериях исследуется уравнение ха-
рактеристической кривой, получающейся заменой в полиноме
В
(
р
) параметр
p
на
ω
j
, т.е.
Область неустойчивости
P
1
p
2
p
5
p
Область устойчивости
jQ
3
p
4
p
0

Страницы