Численные методы. Мусакаев Н.Г - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

10
Билет 7
1. Какую функцию называют аппроксимирующей?
а) Пусть для конечного множества значений аргумента x
0
, x
1
, …, x
n
известны табличные значения
функций
f(x
0
), f(x
1
), …, f(x
n
). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты
по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям
функций
.
б) Пусть для конечного множества значений аргумента
x
0
, x
1
, …, x
n
известны табличные значения
функций
f(x
0
), f(x
1
), …, f(x
n
). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x),
производные от которой равны производным функции
f(x).
в) Пусть для конечного множества значений аргумента
x
0
, x
1
, …, x
n
известны табличные значения
функций
f(x
0
), f(x
1
), …, f(x
n
). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения
которой отличаются от данных значений функций на постоянную величину
.
2. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [x
i
, x
i+1
] равной длины. На каждом
отрезке [
x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(x
i+1/2
) и интеграл
по [
a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
б) В квадратурных формулах
Ψ+=
∑
∫
=
−
n
i
ii
tfcdttf
1
1
1
)()( коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
подбираются
так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени
N. При n узлах
точно интегрируются все многочлены степени
12
−
≤
nN
. Коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
находятся
из системы 2
n-1 нелинейных уравнений.
в) Отрезок интегрирования [
a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала
[
x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом второй степени с
узлами
x
i
, x
i+1/2
и x
i+1
. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным
отрезкам.
3. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
а) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение
системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному
виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти
ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении
неизвестных из системы треугольного
вида.
б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду.
Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении
достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично
приближающихся к точному решению.
в) Если матрица коэффициентов
А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то
исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по
формулам
A
A
x
i
i
det
det
=
, det A
i
и det A определители матриц A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из матрицы
А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.
4. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления y
i+1
нужно использовать
лишь имеющеюся информацию о
r предыдущих точках (x
i+1
, y
i+1
), (x
i-1
, y
i-1
),,..., (x
i-r
, y
i-r
), (r - шаговый
метод).
б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления
y
i+1
нужно знать лишь одно
значение
y
i
и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения.
в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность аппроксимации
разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.
5. Дано волновое уравнение
0=
∂
∂
+
∂
∂
x
u
c
t
u
. С каким шагом по времени Δ
t
необходимо решать
данное уравнение каким-либо явным конечно-разностным методом, чтобы выполнялось
условие устойчивости Куранта-Фридлихса-Леви, если
c = 250, Δ
x
= 0,1 (Δ
x
– шаг по
пространственной координате).
а)
1≤Δ
t
. б)
2500
≤
Δ
t
. в)
00040,
≤
Δ
t
.

Страницы