Численные методы. Мусакаев Н.Г - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

8
Билет 5
1.
Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала
[x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой
степени с узлами x
i
и x
i+1
, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b]
вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
б) В квадратурных формулах
Ψ+=
∑
∫
=
−
n
i
ii
tfcdttf
1
1
1
)()(
коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
подбираются
так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах
точно интегрируются все многочлены степени
12
−
≤
nN
. Коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
находятся
из системы 2n-1 нелинейных уравнений.
в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [x
i
, x
i+1
] равной длины. На каждом
отрезке [x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(x
i+1/2
) (либо f(x
i
),
либо f(x
i+1
)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
2.
Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
а) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения f(x) = 0 аппроксимируется на интервале [а, b]
интерполяционным многочленом Ньютона. На втором этапе, используя заданное начальное
приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого
корня.
б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На
втором этапе
нелинейное уравнение заменяется на интервале [а, b] эквивалентным уравнением. На третьем этапе
строится итерационный процесс, позволяющий определить значение корня нелинейного уравнения.
в) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. находится
какой-либо интервал [a, b] оси Ox, внутри которого находится один корень, и
нет других решений
нелинейного уравнения. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится
итерационный процесс, позволяющий уточнить значение корня нелинейного уравнения.
3.
Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
а) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения ),( yxfy
=
′
получается как предел
последовательности функций y
n
(x), которые находятся по реккурентной формуле
()
∫
−
+=
x
x
nn
dxxyxfyxy
0
10
)(,)(
.
б) Строится система равноотстоящих точек
x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…). При Вычисления значений y(x
i
),
являющихся решением дифференциального уравнения
),( yxfy
=
′
, проводятся в два этапа. На
первом этапе находится промежуточное значение
),(
iiii
yxfhyy
α
+
=
с шагом α h, на втором
этапе –
,),(),()(
iiiiii
yhxfhyxfhyy
α
+
σ
+
σ
−
+
=
+
1
1
где α >0, σ > 0 – параметры,
определяемые из соображений точности.
в) Строится система равноотстоящих точек
x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h.
Приближенные значения
y(x
i
), являющиеся решением дифференциального уравнения ),( yxfy =
′
,
вычисляются последовательно по формулам y
i+1
= y
i
+ h·f(x
i
, y
i
).
4. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в частных
производных должна лежать внутри области зависимости численного решения.
б) Отличительной особенностью условия Куранта-Фридлихса-Леви является то, что оно
обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла разностной сетки, т.к. учитывает
дискретный характер решения поставленной задачи.
в) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих
узлы разностной сетки (j±1, n) и (j, n+1), по
абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического
уравнения в частных производных.
5. По прогнозу 1983 г. добыча нефти в Западной Европе должна была составить в 1980 г. –
2,6 млн. баррелей/сут., в 1985 г. – 3,9 млн. баррелей/сут. и в 1990 г. – 3,2 млн. баррелей/сут.
Используя интерполяционный полином Лагранжа, рассчитать данный показатель на
1988 г.
а) 3,720 млн. баррелей/сут. б) 3,894 млн. баррелей/сут. в) 3,643 млн. баррелей/сут.

Страницы