Численные методы. Мусакаев Н.Г - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

12
Билет 9
1. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
а) Метод состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и
на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию
f(x)
многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах
сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую
свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах
участков.
б) Метод состоит в том, что строится полином, сумма квадратов отклонений которого от табличных
значений интерполируемой функции y
i
= f(x
i
) минимальна, т.е. за меру качества аппроксимации
функции
f(x) полиномом P
m
(x) в узлах x
i
принимают сумму
[]
∑
=
−ω
n
i
imii
xPxfx
1
2
)()()(
, где
0
≥ω )(x
– заранее выбранная «весовая» функция.
в) Метод состоит в том, что строится полином вида
∑∏∏
=≠=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
n
iik
kii
n
k
kin
xxxxxxxfxP
00
)()()()()(
,
принимающий в точках
x
i
, называемых узлами, значения интерполируемой функции f(x
i
).
2. Назовите области применения формул численного дифференцирования.
а) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять
производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование
функции затруднительно.
б) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения
функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и
аналитическое выражение функции неизвестно
.
в) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда требуется определить
допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
3. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
а) Сеточная функция y
i
есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи u –
функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным функциональным пространствам. О
близости решений разностной и дифференциальной задач говорят в том случае, когда величина
нормы
ii
yxu −)(
в пространстве сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге
разностной сетки
0→h
.
б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка
),( yxfy
=
′
с начальным
условием y(x
0
) = y
0
. Выбрав достаточно малый шаг h, строят систему равноотстоящих точек
(разностную сетку) x
i
= x
0
+i·h. При этом приближенные значения y(x
i
) вычисляются последовательно
по следующим формулам y
i+1
= y
i
+ h·f(x
i
, y
i
).
в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются
отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке
понятие предельного перехода при нахождении производной теряет смысл. При этом разностный
оператор L
h
аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком n > 0 в точке x
i
, если для
погрешности аппроксимации имеет место
)()(
n
xx
hii
hOLuuLx
i
=−=ψ=ψ
=
или
n
hM ⋅<ψ
, где
M=const>0 не зависит от шага разностной сетки h.
4. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического
типа?
а) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают установившиеся
процессы.
б)
Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают одномерные
динамические процессы.
в)
Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают неустановившиеся
процессы, но зона зависимости их решений в отличие от гиперболических уравнений не ограничена.
5. Дано уравнение x
3
+ x
2
-1 =0. Привести данное уравнение к виду, при котором выполняются
достаточные условия сходимости для метода простой итерации на отрезке [0; 1].
а)
3
2
−=
−
xx
. б) xxx 31
3
)( −= . в) 31 += xx .

Страницы