Численные методы. Мусакаев Н.Г - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

14
Билет 11
1. Приведите выражение для оценки погрешности интерполяции для формул Лагранжа и
Ньютона.
а)
)()( abMhxR
n
−≤
3
12
, где
)(min
],[
ξ
′′
=
∈ξ
fM
ba
3
, ξ – некоторая точка заданного промежутка [а, b],
h = const – расстояние между соседними узлами интерполяции x
i
(i = 0, 1,…, n).
б)
,)())((
)!(
)(
)(
)(
n
n
n
xxxxxx
n
f
xR −−−
+
ξ
=
+
K
10
1
1
где ξ есть некоторая точка наименьшего промежутка,
содержащего все узлы интерполяции x
i
(i = 0, 1,…, n) и точку х, в которой находится значение сеточной
функции f(x).
в)
(
)
),(,sup)( nixxxR
in
0
22
=−=
, где x
i
– узлы интерполяции, х – некоторое значение сеточной
функции f(x).
2.
Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с
помощью метода двойного пересчета.
а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения ε
s
и
погрешности округления ε
p
. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность ε
s
убывает, а ε
p
возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы ε
s
составляла
примерно половину ε
p
.
б) Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала интеграл I
h
с
некоторым шагом h, затем интеграл I
h/2
с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что
ε<−
2/hh
II
, где ε – допустимая погрешность, то полагают
2/h
II
≈
. Если же
ε≥−
2/hh
II
, то
расчет повторяют с шагом h/4 и т.д.
в) Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью ε. Используя формулу соответствующего
остаточного члена Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство
2/ε<Ψ . Затем
вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует
производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε/2.
3.
Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения.
а) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы функция
f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b]
постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x
0
.
Последующие приближения определяется x
k+1
= x
k
– f(x
k
)/f΄(x
k
), (k = 0, 1, …).
б) Для решения нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы на концах
интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения разных знаков. Итерационная процедура
состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин
предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь
полученного интервала станет
меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно
принимается середина этого интервала.
в) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным x = φ(x). Итерации
образуются по правилу x
k+1
= φ(x
k
), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x
0
. Если
последовательность чисел x
k
имеет предел при k→0, то этот предел является корнем уравнения x = φ(x).
4. Какая конечно-разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой)?
а) Если погрешность аппроксимации нельзя (можно) представить в виде O(Δx/Δt), то разностная схема
называется сильно неустойчивой (устойчивой).
б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю (единице), то разностная
схема называется сильно неустойчивой (устойчивой).
в) Если полная погрешность округления растет (не
растет), то разностная схема называется сильно
неустойчивой (устойчивой).
5.
Построить конечно-разностную аппроксимацию первой производной в точке (i, j), имеющую
погрешность аппроксимации
(
)
2
)( xO Δ
, используя лишь значения
jijiji
uuu
,,,
,,
12 −−
.
а)
(
)
.)(
,,,
,
2
12
2
34
xO
x
uuu
x
u
jijiji
ji
Δ+
Δ
+−
=
∂
∂
−−
б)
(
)
.)(
)(
,,,
,
2
2
12
33
xO
x
uuu
x
u
jijiji
ji
Δ+
Δ
−−
=
∂
∂
−−
в)
(
)
.)(
,,,
,
2
12
2
xO
x
uuu
x
u
jijiji
ji
Δ+
Δ
++
=
∂
∂
−−

Страницы