Численные методы. Мусакаев Н.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

16
Билет 13
1. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании
остаточных членов формул.
а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом числе узлов, чем
формулы Симпсона и трапеций, а последние – более точные результаты, чем формула Гаусса. Однако
для функции малой гладкости, имеющих лишь первую или вторую производную, а также для
функций с разрывами производных простые формулы интегрирования (Гаусса, трапеции и
Симпсона) могут давать примерно
ту же точность, что и формула прямоугольников.
б) Для функций имеющих непрерывные производные достаточно высокого порядка при одинаковом
числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные результаты, чем формула Симпсона, а
последняя – более точные результаты, чем формулы прямоугольников и трапеций. При этом для
получения одной и той же точности по
формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций,
чем по формуле Симпсона, а по последней – меньше, чем по формуле трапеций.
в) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой гладкости
квадратурная формула трапеций является наиболее точной по сравнению с формулами Гаусса и
Симпсона). Однако для функций с разрывами производных наиболее точным является
более сложная
формула прямоугольников.
2. Метод деления отрезка пополам.
а) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 требуется, чтобы на концах интервала [а, b]
функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура
состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин
предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь
полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения
приближенно принимается середина этого интервала.
б) Согласно данному методу общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма
погрешности усечения
ε
s
и погрешности округления ε
p
. Так как с уменьшением шага расчета h
погрешность
ε
s
убывает, а ε
p
возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким
образом, чтобы
ε
s
составляла примерно половину ε
p
.
в) Строится система равноотстоящих точек
x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h.
Приближенные значения
y(x
i
), являющиеся решением дифференциального уравнения
),( yxfy =
′
,
вычисляются последовательно по формулам y
i+1
= y
i
+ h·f(x
i
, y
i
).
3. Определение стационарной задачи для уравнений в частных производных.
а) Задача называется стационарной, если решение уравнения в частных производных внутри
некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области.
б) Стационарной называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в част-ных
производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях.
в) Задача называется стационарной, если на границе области
задана линейная комбинация искомой
функции и ее производной по нормали к границе.
4. Определение устойчивости конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения в
частных производных.
а) Разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, называется устойчивой,
если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю.
б) Устойчивой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение законов
сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей
произвольное число узлов разностной сетки.
в) Разностная схема называется устойчивой, если на
каждом шаге по маршевой координате любая
ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при
переходе от одного шага к другому.
5. С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Лагранжа ln 100,5
по известным значениям ln 100, ln 101, ln 102 и ln 103.
а) 4,5·10
-5
; б) 6,7·10
-7
; в) 2,3·10
-9
.

Страницы