Численные методы. Мусакаев Н.Г - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

18
Билет 15
1. Абсолютная погрешность.
а) Пусть а
*
– точное, а – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью
приближения
а называется величина δ
a
такая, что
a
aa δ≤−
∗
.
б) Пусть
а
*
– точное, а – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью
приближения
а называется величина δ
a
такая, что aaa
a
)(
∗
−=δ , ( 0
≠
a ).
в) Пусть
а
*
– точное, а – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью
приближения
а называется величина
aaa
a
)(
∗
−=δ
, (
0
≠
a
).
2. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (ДОП) и Ньютона по различным
критериям (универсальность, скорость сходимости).
а) Метод Ньютона обладает большей универсальностью, чем метод ДОП, т.к. сходимость зависит
только от выбора начальной точки. Вычисления методом ДОП можно начинать лишь с отрезка, на
концах которого функция имеет разные знаки, а внутри этого интервала непрерывные производные
1-го и 2-го порядков. При решении практических задач не всегда удается
проверить выполнение
необходимых ограничений на выбор подобного интервала. Однако метод ДОП обладает более
высокой скоростью сходимости.
б) Более универсальным является метод ДОП. Он гарантирует получение решения для любой
непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она меняет знак. Метод Ньютона
предъявляет к функции более жесткие требования. Сходимость метода Ньютона существенно зависит
от выбора начальной точки. При реализации данного метода необходимо предусматривать
вычисление производных функции для организации итерационного процесса и проверки условий
сходимости. Важным преимуществом метода Ньютона является высокая скорость сходимости,
обеспечивающая значительную экономию машинного времени при решении сложных нелинейных
уравнений.
в) Методы Ньютона и ДОП имеют одинаковые необходимые и достаточные условия
сходимости,
поэтому применимы в одинаковых условиях. Однако метод ДОП обладает линейной скоростью
сходимости, поэтому весьма быстро сходится в отличие от метода Ньютона, который обладает лишь
квадратичной скоростью сходимости.
3. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных?
а) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в
виде полинома
n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения
ограничен, следовательно, можно взять интеграл Лебега от данного полинома. В таком случае
конечно-разностная схемы является абсолютно устойчивой.
б) Строится система равноотстоящих точек
xixx
i
Δ
+
=
0
,
(
)
K,,,, 210
0
=
Δ
+
=
ititt
i
. Вычисления
значений
u(x
i
, t
n
), являющихся решением уравнения в частных производных, проводятся в два этапа.
На первом этапе находится промежуточное значение
)(
n
j
n
j
n
j
n
j
uu
x
tc
uu −
Δ
Δ
−=
+
+
1
1
, на втором этапе –
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
Δ
Δ
−+=
+
−
+++
)(
1
1
111
2
1
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
uu
x
tc
cuuu .
в) Основой метода конечных разностей является дискретизация – замена непрерывной области
совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих
точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения
в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений.
4.
Каков физический смысл условия Куранта-Фридрихса-Леви?
а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в частных
производных должна лежать внутри области зависимости численного решения.
б) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и (j, n+1), по
абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического
уравнения в частных производных.
в) Для
решения уравнений в частных производных эллиптического типа лучше использовать неявные
методы, так как они учитывают всю информацию, известную на характеристике t=const и под ней.
5.
Найти относительную погрешность приближенного числа a = 4231,92 по ее абсолютной
погрешности Δ
a
= 2, предварительно округлив число a до верных знаков.
а) Относительная погрешность = 0,0051. б) Относительная погрешность = 0,0047.
в) Относительная погрешность = 0,0053.

Страницы