Численные методы. Мусакаев Н.Г - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

15
Билет 12
1. Метод наименьших квадратов.
а) Согласно данному методу строится полином P
m
(x), сумма квадратов отклонений которого от
табличных значений интерполируемой функции
y
i
= f(x
i
) минимальна, т.е. за меру качества
аппроксимации функции
f(x) полиномом P
m
(x) в узлах x
i
принимают сумму
[]
∑
=
−ω
n
i
imii
xPxfx
1
2
)()()(
, где
0
≥
ω
)(x
– заранее выбранная «весовая» функция.
б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду.
Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении
достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично
приближающихся к точному решению.
в) Согласно данному методу вычисление интеграла
I по выбранной квадратурной формуле производят
дважды: сначала интеграл
I
h
с некоторым шагом h, затем интеграл I
h/2
с шагом h/2, а затем сравнивают
их. Если окажется, что
ε<−
2/hh
II , где ε – допустимая погрешность, то полагают
2/h
II ≈ . Если же
ε≥−
2/hh
II
, то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д.
2. Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [x
i
, x
i+1
] равной длины. На каждом
отрезке [
x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(x
i2
) и интеграл по
[
a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
б) В квадратурных формулах
Ψ+=
∑
∫
=
−
n
i
ii
tfcdttf
1
1
1
)()( коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
подбираются
так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени
N. При n узлах
точно интегрируются все многочлены степени
12
−
≤
nN
. Коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
находятся из
системы 2
n-1 нелинейных уравнений.
в) Отрезок интегрирования [
a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала
[
x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой
степени с узлами
x
i
и x
i+1
, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b]
вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
3. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного
количества арифметических операций и соответственно больших затрат машинного времени. Кроме
того, он очень чувствителен к ошибкам округления.
в) Данный метод дает менее
точные результаты, чем другие методы решения СЛАУ. При этом
требуется выполнение жестких достаточных условий сходимости.
4. В чем состоит суть численных (конечно-разностных) методов решения обыкновенных
дифференциальных уравнений (ДУ)?
а) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в
виде полинома
n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения
ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае для
условия устойчивости конечно-разностной схемы получается неравенство вида
1≤ΔΔα= xtr
.
б) В рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой
описывается функциями непрерывного аргумента, вводится ее разностный аналог. Эта дискретная
модель среды описывается функциями дискретного аргумента, которые определены в конечном числе
точек на сетке. ДУ заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге
исследуемая задача заменяется системой разностных уравнений – разностной схемой.
в) Строится система равноотстоящих точек x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления значений y(x
i
),
являющихся решением ДУ
),( yxfy =
′
, проводятся в два этапа. На первом этапе решение заменяется
интерполяционным полиномом Лагранжа с шагом
h, на втором этапе находится решение в
промежуточных точках.
5. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
hyy
ii
2
11
)(
−+
−
, разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной задачи в окрестности
узла
x
i
(h – шаг разностной сетки).
а) O(h
3
). б) O(h
2
). в) O(h/3).

Страницы