Численные методы. Мусакаев Н.Г - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

13
Билет 10
1. Назовите достоинства метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической точности)
вычисления определенного интеграла.
а) Метод Гаусса в ряду других методов численного интегрирования наиболее прост в понимании и
организации вычислительного процесса. При этом есть легко определяемая оценка погрешности.
б) В методе Гаусса отрезок интегрирования разбивается на
n равных интервалов в отличие от других
квадратурных формул, в которых абсциссы
x
i
подбираются исходя из соображений точности и,
вообще говоря, являются иррациональными числами.
в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает значительно более
точные результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и
той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций.
2. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x).
Итерации образуются по правилу x
k+1
= φ(x
k
), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение
x
0
. Если последовательность чисел x
k
имеет предел при 0→k , то этот предел является корнем
уравнения x = φ(x).
б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется,
чтобы на концах интервала [
а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного
знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу,
совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс
заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в
качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы
функция
f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие
на [
а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального
приближения x
0
. Последующие приближения определяется по формуле
)()(
kkkk
xfxfxx
′
−=
+1
,
(
k = 0, 1, …).
3. Укажите методы построения конечно-разностных схем.
а) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4) метод конечного
объема.
б) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций полиномами; 3)
интегральный метод; 4) метод контрольного объема.
в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод использования
разностей против потока; 4) метод Кранка-Николсона.
4. Анализ устойчивости методом Неймана (методом Фурье) конечно-разностной схемы для
решения уравнения теплопроводности.
а) Согласно методу Неймана полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой
степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно,
можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В этом случае условие устойчивости конечно-
разностной схемы для уравнения теплопроводности получается в виде неравенства
1≤ΔΔα= xtr
.
б) Принимается, что погрешность ε удовлетворяет разностной схеме для уравнения
теплопроводности и в методе Неймана ее представляют в виде суммы ряда Фурье. Если разностная
схема устойчива, то рост любого возмущения, вводимого на n-м шаге по времени, ограничен.
Подставляя данное разложение ε в разностное уравнение, для
условия устойчивости
рассматриваемой конечно-разностной схемы получаем неравенство
(
)
21
2
/≤ΔΔα= xtr .
в) Так как разностная схема устойчива при ограниченности роста любого возмущения, то в методе
Неймана принимается, что погрешность ε на любом шаге по времени является постоянной величиной
и равной первому члену ряда Фурье. Подставляя данное разложение ε в разностное уравнение
теплопроводности, для условия устойчивости рассматриваемой конечно
-разностной схемы получаем
формулу
1
=
Δ
⋅Δα= xtr
.
5. Даны числа a = 23,37 и b = 23,13 с абсолютными погрешностями Δ
a
=Δ
b
=0,21. Оценить
погрешность их разности c =
a – b.
а) Δ
с
= 0,42. б) Δ
с
= 0,21. в) Δ
с
= 0,24.

Страницы