Численные методы. Мусакаев Н.Г - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

11
Билет 8
1. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса.
Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени
интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.
б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность
интерполяции. Основной недостаток метода – медленная
скорость сходимости, что приводит к
значительным затратам машинного времени.
в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым
накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов
интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса.
2.
Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специального вида
методом прогонки.
а) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
Исходная система
n уравнений приводится к виду x
i
= α
i
+β
i
x
i+1
(i = 1, 2,…, n-1).. Числа α
i
, β
i
,
называемые прогоночными коэффициентами, последовательно
находятся в прямом ходе. При
осуществлении обратного хода определяется
x
n
, а затем вычисляются значения x
i
(i = n-1, …, 1),
последовательно применяя рекуррентные формулы
x
i
= α
i
+β
i
x
i+1
.
б) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с разреженной матрицей коэффициентов. Если
определитель матрицы коэффициентов
А не равен нулю, то исходная система имеет единственное
решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам
A
A
x
i
i
det
det
=
, где det A
i
и det A –
определители матриц
A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из А путем замены ее i-го столбца
столбцом свободных членов.
в) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с апериодической матрицей коэффициентов.
Исходная система заменяется эквивалентной. Исходя из произвольного начального вектора, строится
итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается
последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.
3. Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного
дифференциального уравнения.
а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным множеством точек,
лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи
примером пространственной разностной сетки являются совокупность точек разбиения отрезка на
N
частей. Точки деления
x
i
отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами x
i+1
– x
i
= h есть
шаг сетки.
б) Заданный отрезок [
a, b] заменяется системой частичных отрезков [x
i
, x
i+1
] равной длины,
называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала
x
i+1
– x
i
, = h есть единичная
длина сетки. На каждом отрезке [
x
i
, x
i+1
] осуществляется численное решение дифференциального
уравнения.
в) Пусть для некоторого множества точек
x
0
, x
1
, …, x
n
исходной области известны табличные
значения функции
y = f(x), являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество
значений функции
y
0
, y
1
, …, y
n
, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами
y
i+1
– y
i
= h называется шагом сетки.
4. Каков геометрический смысл условия Куранта-Фридрихса-Леви?
а) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и (j, n+1), по
абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического
уравнения в частных производных.
б) Для решения уравнений в частных производных параболического типа лучше использовать
неявные методы, так как они учитывают всю информацию, известную на характеристике
t=const и
под ней.
в) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в частных
производных должна лежать внутри области зависимости численного решения.
5. Определить величину шага h по оценке остаточного члена для вычисления интеграла
∫
+
1
0
2
1 x
dx
по формуле трапеций с точностью до 10
-2
.
а) h = 1,49. б) h = 0,79. в) h = 0,96.

Страницы