Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 19 стр.

дифференцирование используется для вычисления производной аналитически
заданной функции, когда производная имеет слишком сложное для вычислений
выражение.
       Пусть исходная функция yi = f(xi), i = 0, 1,..., М, на отрезках [xj, xj + R] заме-
няется некоторой приближающей, легко вычисляемой функцией φ(x, а), то есть
у=φ(x, а) + R(х), где R(х) — остаточный член приближения, а — вектор коэф-
фициентов (различный для каждого из рассматриваемых отрезков) и полагают,
что y ′( x) ≈ ϕ ′(x, a ) .
       В первом приближении таблично заданная функция может быть сравнима
                               yi+1 − yi
с y (x ) ≈ ϕ (x ) = yi +                 (x − xi ), x ∈ [ xi , xi+1 ] .
                               xi+1 − xi

       В этом случае производная является кусочно-постоянной функцией и рас-
                                                                          yi+1 − yi
считывается по формуле y′(x ) ≈ ϕ ′(x ) = yi +                                      = const , x ∈ [ xi , xi+1 ] с первым по-
                                                                          xi+1 − xi

рядком точности в крайних точках интервала. Где точка, в которой требуется
найти значение производной, совпадает с правой (с левой) границей отрезка,
такую производную называют левосторонней (правосторонней).
       Во втором приближении таблично заданная функция может быть сравнима
                                                    yi + 2 − yi +1 yi +1 − yi
                                                                    −
                          y i +1 − y i              xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi
с: y (x ) ≈ ϕ (x ) = yi +              ( x − xi ) +                           (x − xi )(x − xi +1 ), то производная
                          xi +1 − xi                         xi + 2 − xi

первого и второго порядка со вторым порядком точности в средней точке ин-
тервала вычисляется соответственно по формуле:
                                                yi + 2 − yi +1 yi +1 − yi
                                                                −
                              y i +1 − y i      xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi
y ′( x ) ≈ ϕ ′( x ) = y i +                +                              (2 x − xi − xi +1 ),
                              xi +1 − xi                 xi + 2 − xi

                         yi + 2 − yi +1 yi +1 − yi
                                         −
                         xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi
y ′′(x ) ≈ ϕ ′′( x ) = 2                           , x ∈ [ xi , xi+1 ] .
                                  xi + 2 − xi

В случае равноотстоящих узлов с шагом h = xi+1 − xi = xi+2 − xi+1 имеем



                                                                     18