Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 21 стр.

            y3 − y2 y2 − y1      1.3499 − 1.2214 1.2214 − 1.1052
                    −                              −
             x −x     x2 − x1        0.3 − 0.2           0.2 − 0.1
y′′(0.2) = 2 3 2              =2                                   = 1.2224.
                 x3 − x1                       0.3 − 0.1

              1.12. Дифференциал функции и его геометрический смысл

                                                                           Δy
       Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: lim                = f ′( x) . Тогда
                                                                    Δx → 0 Δx


                             Δy
можно записать:                 = f ′( x) + α , где α→0, при    Δх→0. Следовательно:
                             Δx

Δy = f ′( x) ⋅ Δx + α ⋅ Δx . Величина   αΔx- бесконечно малая более высокого порядка,
чем f′(x)Δx, т.е. f′(x)Δx- главная часть приращения Δу.
       Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная
часть приращения функции. Обозначается dy или df(x).
       Из определения следует, что dy = f′(x)Δx или dy = f′(x)dx.
                          Геометрический смысл дифференциала
                                                    Из треугольника ΔMKL: KL = dy =
                                             tgα⋅Δx = y′⋅Δx. Таким образом, дифферен-
                                             циал функции f(x) в точке х равен прира-
                                             щению ординаты касательной к графику
                                             этой функции в этой точке, когда x полу-
                                             чит приращение Δx.
              Рис. 4
                           Основные теоремы о дифференциалах
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то:
1) d(u ± v) = (u ± v)′dx = u′dx ± v′dx = du ± dv
2) d(uv) = (uv)′dx = (u′v + v′u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
             vdu − udv
4) d ⎛⎜ ⎞⎟ =
       u
                  2
     ⎝v⎠        v

5) Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция, тогда y = f′(x)g′(t)dt= f′(x)dx.


                                               20