Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

21
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х
независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с
чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциа-
ла. Однако, если х - независимая переменная, то dx = Δx, но если х зависит от
t, то
Δ
х
≠
dx. Таким образом, форма записи dy = f
′
(x)
Δ
x не является инвариант-
ной.
Пример. Найти дифференциал функции
2
3
2
+
=
x
y
.
Решение. По определению dy=f
′
(x)dx. Найдем y
′
:
()
32
3
32
1
2
1
2
2
2
+
=
′
+⋅
+
⋅=
′
x
x
x
x
y
⇒
dx
x
x
dy
32
2
+
=
.
1.13. Производные и дифференциалы высших порядков
явно заданной функции
Производная
)(xfy
′
=
′
функции
)(xfy
=
есть также функция от х и на-
зывается производной первого порядка.
Если функция
)(xf
′
дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка и обозначается
y
′
′
, т.е.
)(
′′
=
′
′
yy
.
Производная от производной второго порядка, если она существует, на-
зывается производной третьего порядка и обозначается
y
′′′
, т.е.
)(
′
′
′
=
′′′
yy
.
Производной n-го порядка
называется производная от производной (n-1)-
го порядка:
)(
)1()(
′
=
−nn
yy
.
В дифференциальной форме производная n-го порядка записывается
()
()
x
n
f
n
dx
y
n
d
=
. Отсюда следует формула для вычисления дифференциала n-го
порядка d
n
y = f
(n)
(x)dx
n
.
Производные (дифференциалы) порядка выше первого называются про-
изводными (дифференциалами) высших порядков.
Пример. Найти производную п-го порядка функции
xy sin=
. 
        Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х
независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с
чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциа-
ла. Однако, если х - независимая переменная, то              dx = Δx, но если х зависит от
t, то Δх ≠ dx. Таким образом, форма записи dy = f′(x)Δx не является инвариант-
ной.
                                                              x2 + 3
        Пример. Найти дифференциал функции y =                       .
                                                               2
        Решение.         По        определению         dy=f′(x)dx.       Найдем        y′ :
                          ′
y′ =
       1
         ⋅
            1
       2 2 x2 + 3
                   (     )
                  ⋅ x2 + 3 =
                                x
                                      ⇒ dy =
                                                x
                                                      dx .
                             2 x2 + 3        2 x2 + 3

                  1.13. Производные и дифференциалы высших порядков
                                   явно заданной функции

        Производная y ′ = f ′( x ) функции y = f ( x ) есть также функция от х и на-
зывается производной первого порядка.
        Если функция f ′( x ) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка и обозначается y ′′ , т.е. y ′′ = ( y ′)′ .
        Производная от производной второго порядка, если она существует, на-
зывается производной третьего порядка и обозначается y ′′′ , т.е. y ′′′ = ( y ′′)′ .
        Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-
го порядка: y = ( y
             (n)    ( n −1)
                            )′ .
        В дифференциальной форме производная n-го порядка записывается
 n
d y
   n = f (x ) .
        (n )
                  Отсюда следует формула для вычисления дифференциала n-го
dx

порядка dny = f(n)(x)dxn.
        Производные (дифференциалы) порядка выше первого называются про-
изводными (дифференциалами) высших порядков.
        Пример. Найти производную п-го порядка функции y = sin x .

                                             21

Страницы