Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 23 стр.

                                      π                                                π
Решение. y ′ = cos x = sin( x +           ),             y ′′ = − sin x = sin( x +         ⋅ 2) ,
                                      2                                                2
                                          π                                            π
           y ′′′ = − cos x = sin( x +          ⋅ 3) ,        y IV = sin x = sin( x +       ⋅ 4) ,
                                          2                                            2
                               π                                       π
      y V = cos x = sin( x +       ⋅ 5) , . . . , y ( n ) = sin( x +       ⋅ n) .
                               2                                       2
         1.14. Производные высших порядков неявно заданной функции

      Пусть функция y = f ( x ) задана неявно в виде уравнения F ( x; y ) = 0 . Про-
дифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение отно-
сительно y ′ , найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x
первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В
нее войдут x, y и y ′ . Подставляя уже найденное значение y ′ в выражение вто-
рой производной, выразим y ′′ , через x и y и т.д.

      Пример. Найти y ′′′ , если x + y = 1.
                                  2   2



      Решение.       Дифференцируем                      уравнение:             x2 + y 2 −1 = 0              по   x:

                                                         ⎛ x⎞
                                                   y − x⎜⎜ − ⎟⎟
                          x           y − xy ′           ⎝ y⎠ =− y +x =− 1
                                                                  2    2
2 x + 2 yy ′ = 0 ⇒ y ′ = − ⇒ y ′′ = −          = −                          ,
                          y             y2              y2          y3   y3

          − 3 y 2 y′   3 −x   3x
y ′′′ = −      6
                     = 4⋅   =− 5 .
             y        y   y   y
                  1.15. Производные высших порядков от функций,
                                     заданных параметрически
                                                              ⎧ x = x (t ),
      Пусть функция y=f(x) задана параметрически уравнениями: ⎨
                                                              ⎩ y = y (t ).
                                                                                                    y t′
Как известно, первая производная y ′x находится по формуле: y ′x =                                       .
                                                                                                    xt′
      Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически:



                                                        22