Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 20 стр.

                             y i +1 − y i
y(x ) ≈ ϕ (x ) = yi +                     (x − x1 ) + yi + 2 − 2 y2i +1 + yi (x − xi )(x − xi +1 ),
                                   h                          2h
                       y i +1 − yi y i + 2 − 2 y i +1 + y i
y ′(x ) ≈ ϕ ′( x ) =              +             2
                                                            (2 x − xi − xi +1 ), y ′′(x ) ≈ ϕ ′′(x ) = yi + 2 − 2 y2i +1 + yi .
                             h              2h                                                                 2h
       Замечание. Данный подход не позволяет получать многие необходимые
для практики выражения для производных и оставляет открытым вопрос о по-
грешности вычисления производных.
         Пример.                Вычислить первую и вторую производные от таблично за-
данной функции yi = f(xi) = 0, 1, 2, 3, 4, в точке х = X*; X* = 0.2.
        i              0                  1                 2                 3                  4
        xi             0.0               0.1               0.2               0.3                0.4

        yi             1.0            1.1052            1.2214             1.3499             1.4918



         Решение. Вычислим производную, используя формулу и отрезок [х1, х2].
                                         y −y            1.2214 − 1.1052
Левосторонняя производная: y′(0.2) = y2 + 2 1 = 1,2214 +                 = 2,38.
                                                                          x2 − x1                     0 .2 − 0 .1

                                                                          y3 − y2            1.3499 − 1.2214
Правосторонняя производная: y′(0.2) = y2 +                                        = 1,2214 +                 = 2,5.
                                                                          x3 − x2                0 .3 − 0 .2

Обе эти формулы позволяют вычислить производную с первым порядком точ-
ности. Вычислим производную со вторым порядком точности, для чего вос-
пользуемся формулой:
                         y3 − y2 y2 − y1
                                 −
               y2 − y1 x3 − x2 x2 − x1
y′(0.2) = y2 +         +                   (2 ⋅ 0.2 − x1 − x2 ) =
               x2 − x1        x3 − x1
                             1.3499 − 1.2214 1.2214 − 1.1052
                                               −
           1.2214 − 1.1052       0.3 − 0.2           0.2 − 0.1
= 1,2214 +                 +                                      (2 ⋅ 0,2 − 0.1 − 0.2) = 2,44.
               0.2 − 0.1                   0.3 − 0.1
       Замечание. Результат вычисления производной со вторым порядком точ-
ности в случае равномерной сетки совпадает с полусуммой левосторонней и
правосторонней производных.
Вычислим вторую производную в точке х = 0.2, используя соотношение:



                                                                     19