Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

25
Окрестностью точки М
0
(х
0
, у
0
) радиуса r называется совокупность всех
точек (х, у), которые удовлетворяют условию
()()
ryyxx <−+−
2
0
2
0
.
Пусть каждой точке М из множества точек
{
}
М евклидового пространст-
ва
m
E
по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из чи-
слового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве
{}
М задана
функция
()
Mfu =
. При этом множество
{
}
М называется областью определе-
ния, U – областью изменения функции
(
)
Mf
.
2.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки
М(х,у) к точке М
0
(х
0
, у
0
), если для каждого числа
ε
> 0 найдется такое число
r>0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
rMM
<
0
, также
верно и условие
ε<− Ayxf ),(
.
Записывают:
Ayxf
yy
xx
=
→
→
),(lim
0
0
Пример. Вычислить пределы:
а)
(
)
()
23
1
lim
2
2
0
−+
−
−+
→
→
yx
e
yx
y
x
.
Решение.
()
()
3
1
3
lim
3
1
lim
0
2,0
2
23
1
lim
00
2
2
0
==
−
=
→
⇒→→
=−+
=
−+
−
→→
−+
→
→
t
t
t
e
t
yx
tyx
yx
e
t
t
t
yx
y
x
.
б)
yx
yx
y
x
+
−
→
→
0
0
lim
.
Решение. Функция
yx
yx
+
−
определена в проколотой окрестности точки О(0;
0) вне прямой 0=+ y
x
; поэтому условие
(
)
(
)
0;0; →yx
означает, что 0
≠
+
y
x
.
Если здесь применять обычный метод «проб и ошибок», то можно полу-
чить следующие результаты: 
       Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех

точек (х, у), которые удовлетворяют условию (x − x0 )2 + ( y − y 0 )2 < r .

       Пусть каждой точке М из множества точек {М } евклидового пространст-

ва E m по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из чи-
слового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {М } задана
функция u = f (M ) . При этом множество {М } называется областью определе-
ния, U – областью изменения функции f (M ) .
                   2.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

       Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки
М(х,у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число
r>0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие                           MM 0 < r , также

верно и условие f ( x, y) − A < ε .

       Записывают: lim f ( x, y ) = A
                            x → x0
                            y → y0

       Пример. Вычислить пределы:
        e (x+ y −2) − 1
а) lim                  .
   x →0 3( x + y − 2 )
   y →2

                                          x+ y−2=t
                       e (x+ y −2 ) − 1                         et − 1         t 1
       Решение. lim                     = x → 0, y → 2 ⇒ = lim         = lim = .
                x → 0 3( x + y − 2 )                       t →0   3t     t → 0 3t 3
                y →2
                                          t →0

          x− y
б) lim         .
   x →0   x+ y
   y →0

                                     x− y
       Решение. Функция                   определена в проколотой окрестности точки О(0;
                                     x+ y

0) вне прямой x + y = 0 ; поэтому условие ( x; y ) → (0; 0 ) означает, что x + y ≠ 0 .
       Если здесь применять обычный метод «проб и ошибок», то можно полу-
чить следующие результаты:


                                                 25

Страницы