Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

26
1) устремим М(x; y) к О(0; 0) вдоль оси Ох, т.е. примем у=0, а 0→
x
, то
1
0
0
limlim
0
0
0
=
+
−
=
+
−
→
=
→
x
x
yx
yx
x
y
x
;
2)
устремим М(x; y) к О(0; 0) вдоль оси Оу, т.е. примем х=0, а 0→у , то
1
0
0
limlim
0
0
0
−=
+
−
=
+
−
→
=
→
у
у
yx
yx
у
х
у
.
Разные предельные значения означают, что данный предел не существует.
в)
22
2
0
0
lim
yx
yx
y
x
+
→
→
.
Решение.
()
=
+
=
→
⎩
⎨
⎧
=
=
=
+
→
→
→
φφ
φφ
φ
φ
222
23
0
22
2
0
0
sincos
sincos
lim
0
sin
,cos
lim
r
r
rпри
ry
rx
мкоордината
полярным
кперейдём
yx
yx
r
y
x
0sincoslim
2
0
==
→
φφ
r
r
.
Пусть точка М
0
(х
0
, у
0
) принадлежит области определения функции f(x, y).
Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М
0
(х
0
,у
0
), если
),(),(lim
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
=
→
→
(1); причем точка М(х, у) стремится к точке М
0
(х
0
, у
0
)
произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка назы-
вается точкой разрыва
функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1)
Функция z = f(x, y) не определена в точке М
0
(х
0
, у
0
).
2)
Не существует предел
),(lim
0
0
yxf
yy
xx
→
→
.
3)
Этот предел существует, но он не равен f(x
0
, y
0
).
Пример. Непрерывна ли функция
()( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
22
1
sin;
yx
yxyxf
при 0
≠
x
,
0≠y и
()
00;0 =f
. 
1)            устремим М(x; y) к О(0; 0) вдоль оси Ох, т.е. примем у=0, а x → 0 , то
       x− y         x−0
lim         = lim       = 1;
x →0
y =0
       x+ y   x → 0 x+0

2)            устремим М(x; y) к О(0; 0) вдоль оси Оу, т.е. примем х=0, а у → 0 , то
       x− y       0− у
lim         = lim       = −1 .
у →0
х =0
       x + y у →0 0 + у

Разные предельные значения означают, что данный предел не существует.
                x2 y
в) lim                .
   x →0
       y →0
              x2 + y2

                                          перейдём к
                                          полярным
                               x2 y                                         r 3 cos φ 2 sin φ
              Решение. lim            = координатам               = lim 2                     =
                       x →0 x 2 + y 2
                       y →0
                                        ⎧ x = r cos φ ,
                                                                           (                )
                                                                    r → 0 r cos 2 φ + sin 2 φ


                                        ⎨               при r → 0
                                        ⎩ y = r sin φ

= lim r cos 2 φ sin φ = 0 .
     r →0

              Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y).
Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если
 lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) (1); причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0)
x → x0
y → y0

произвольным образом.
              Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка назы-
вается точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1)            Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
2)            Не существует предел lim f ( x, y ) .
                                           x → x0
                                           y → y0

3)            Этот предел существует, но он не равен f(x0, y0).
                                                                                 ⎛  1       ⎞
              Пример. Непрерывна ли функция f (x; y ) = (x + y ) sin ⎜⎜                     ⎟⎟ при x ≠ 0 ,
                                                                                 ⎝x + y
                                                                                     2  2
                                                                                             ⎠

y ≠ 0 и f (0; 0 ) = 0 .


                                                       26

Страницы