Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 29 стр.

2. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, огра-
ничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек об-
ласти верно неравенство f ( x, y,...) < K .
3. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной
области D, то она равномерно непрерывна в этой области; т.е. для любого по-
ложительного числа ε существует такое число Δ > 0, что для любых двух точек
(х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем Δ, выполнено
               f ( x1, y1 ) − f ( x2 , y2 ) < ε
неравенство
  2.3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

      Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произ-
вольную точку М(х,у) и зададим приращение Δх к переменной х. Тогда величи-
на Δx z = f(x+Δx,y)–f(x, y) называется частным приращением функции по х.
                       Δ x z f ( x + Δx, y ) − f ( x, y )
Можно записать              =                             .
                       Δx               Δx
                     Δxz
      Тогда Δlim         называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
              x →0   Δx
                ∂z               ∂f ( x, y )
Обозначение:       ;     z′x ;               ;    f x′ ( x, y ).
                ∂x                  ∂x
      Аналогично определяется частная производная функции по у.
                                       ∂z        f ( x , y + Δy ) − f ( x , y )
                                          = lim
                                       ∂y Δy → 0              Δy

                                                                              ∂z
      Геометрическим смыслом частной производной                                 является тангенс уг-
                                                                              ∂x
ла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхно-
сти плоскостью у = у0.
      Пример 1. Найти все производные первого порядка:
      а) z = x 3 − 2 xy 2 + y 4 − 5 .




                                                       28