Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

30
Решение. Находим
φ
cos=
∂
∂
r
x
,
φ
φ
sinr
x
−=
∂
∂
,
φ
sin=
∂
∂
r
y
,
φ
φ
cosr
y
=
∂
∂
.
()
rrrr
r
r
y
r
y
x
r
x
=+⋅=+=
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
φφφφ
φφ
φφ
φ
φ
2222
sincossincos
cossin
sincos
.
2.4. Полное приращение и полный дифференциал
функций нескольких переменных
Для функции f(x, y) выражение
Δ
z= f(x+
Δ
x,y+
Δ
y)–f(x, y) называется пол-
ным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
=
Δ
+
−
Δ
+
+
−
Δ+Δ+=Δ ),(),(),(),( yyxfyyxfyxfyyxxfz
[]
[
]
),(),(),(),( yxfyyxfyyxfyyxxf
−
Δ
+
+
Δ+−Δ+Δ+=
.
Применив теорему Лагранжа
1
к выражениям, стоящим в квадратных
скобках, получаем:
y
yxf
yyxfyyxf
∂
∂
Δ=−Δ+
),(
),(),(
,
yyxf
xyyxfyyxxf
∂
Δ+∂
Δ=Δ+−Δ+Δ+
),(
),(),(
, здесь
),();,( xxxxyyyy Δ+
∈
Δ+∈
. Следовательно
y
yxf
y
x
yyxf
xz
∂
∂
Δ+
∂
Δ+
∂
Δ=Δ
),(),(
. Так
как частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
x
yxf
x
yyxf
y
x
∂
∂
=
∂
Δ+∂
→Δ
→Δ
),(),(
lim
0
0
,
y
yxf
y
yxf
y
x
∂
∂
=
∂
∂
→Δ
→Δ
),(),(
lim
0
0
.
Выражение
yxy
y
yxf
x
x
yxf
z Δα+Δα+Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
=Δ
21
),(),(
называется полным при-
ращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где
α
1
и
α
2
– бесконечно ма-
лые функции при Δх
→
0 и Δу
→
0 соответственно.
1
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b),
то на этом интервале найдется, по крайней мере, одна точка
ε
(a <
ε
< b), такая, что )(
)()(
ε
f
ab
afbf
′
=
−
−
. 
                                   ∂x           ∂x              ∂y           ∂y
Решение. Находим                      = cos φ ,    = −r sin φ ,    = sin φ ,    = r cos φ .
                                   ∂r           ∂φ              ∂r           ∂φ
    ∂x    ∂x
          ∂φ cos φ         − r sin φ
    ∂r
    ∂y    ∂y
             =
               sin φ        r cos φ
                                                                          (
                                        = r cos 2 φ + r sin 2 φ = r ⋅ cos 2 φ + sin 2 φ = r . )
    ∂r    ∂φ

                        2.4. Полное приращение и полный дифференциал
                                        функций нескольких переменных

            Для функции f(x, y) выражение Δz= f(x+Δx,y+Δy)–f(x, y) называется пол-
ным приращением.
            Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
Δz = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y ) + f ( x, y + Δy ) − f ( x, y + Δy ) =
= [ f ( x + Δ x , y + Δy ) − f ( x , y + Δ y ) ] + [ f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ] .

            Применив теорему Лагранжа1 к выражениям, стоящим в квадратных
скобках, получаем:
                                        ∂f ( x, y )                                                     ∂f ( x , y + Δy )
    f ( x, y + Δy ) − f ( x, y ) = Δy               ,   f ( x + Δx , y + Δy ) − f ( x , y + Δy ) = Δx                     , здесь
                                           ∂y                                                                   ∂x

                                                                                           ∂f ( x , y + Δy )      ∂f ( x, y )
y ∈ ( y, y + Δy );          x ∈ ( x, x + Δx ) . Следовательно                   Δz = Δx                      + Δy             . Так
                                                                                                   ∂x                ∂y

как частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
       ∂f ( x , y + Δy ) ∂f ( x, y )          ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y )
lim                     =            , lim               =            .
Δx → 0
Δy → 0
               ∂ x          ∂ x        Δx → 0
                                       Δy → 0
                                                 ∂ y         ∂ y

                                        ∂f ( x, y )      ∂f ( x, y )
            Выражение Δz =                          Δx +             Δy + α1 Δx + α 2 Δy называется полным при-
                                           ∂x               ∂y

ращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где α1 и α2 – бесконечно ма-
лые функции при Δх→0 и Δу→ 0 соответственно.




1
    Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b),
                                                                                                      f (b) − f (a)
то на этом интервале найдется, по крайней мере, одна точка ε (a < ε < b), такая, что                                = f ′(ε ) .
                                                                                                          b−a

                                                                   30

Страницы