Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 32 стр.

         Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линей-
ная относительно Δх и Δу приращения функции Δz в точке (х, у):
dz = f x′ ( x, y )dx + f y′ ( x, y )dy .

         Для функции произвольного числа переменных:
                                                                       ∂f     ∂f         ∂f
                                           df ( x, y , z ,..., t ) =      dx + dy + ... + dt
                                                                       ∂x     ∂y         ∂t
                                                                                           2
Пример 1. Найти полный дифференциал функции u = x y                                            z
                                                                                                   .
                         ∂u     ∂u   ∂u
Решение. du =               dx + dy + dz (1)
                         ∂x     ∂y   ∂z
              ∂u           2       ∂u      2               ∂u      2
Найдем           = y 2 zx y z −1 ;    = x y z ln x ⋅ 2 yz;    = x y z ln x ⋅ y 2 , подставим в
              ∂x                   ∂y                      ∂z
                                                        2                  2                           2
                                                            z −1
формулу (1), получим du = y 2 zx y                             dx + 2 x y z yz ln xdy + y 2 x y z ln xdz
                                                                                        y
Пример 2. Найти полный дифференциал функции z =                                              .
                                                                                      x − y2
                                                                                       2



Решение. Найдем частные производные и подставим в формулу:
∂z    − 2 yx      ∂z y ′( x 2 − y 2 ) − y (−2 y ) x 2 − y 2 + 2 y 2     x2 + y2
   = 2          ,   =                            =                  =
∂x ( x − y 2 ) 2 ∂y          (x 2 − y 2 ) 2         (x 2 − y 2 ) 2    (x 2 − y 2 )2

        2 xy           x2 + y2
dz = − 2         dx + 2           dy .
      (x − y 2 )     (x − y 2 ) 2

                            Геометрический смысл полного дифференциала2
         Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух пере-
менных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z)
касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке
(х0+Δх, у0+Δу).




                                2.5. Дифференцирование сложных функций
         2
             Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространствен-
ным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.



                                                                   31