Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

33
Пример 3. Найти
u
z
∂
∂
и
v
z
∂
∂
, если
22
yxz +=
, где
⎩
⎨
⎧
−=
+
=
vvy
vux ,
.
Решение.
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
(
)
()
(
)
()
/
/
22
/
/
22
u
y
u
x
vuyxvuyx −⋅+++⋅+
=
=
()( )
uvuvuyxyx 4221212
=
−
+
+
=+=⋅+⋅
.
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
()
()
(
)
()
/
/
22
/
/
22
v
y
v
x
vuyxvuyx −⋅+++⋅+
=
=
() ( )
(
)
vvuvuyxyx 4221212
=
+
−
+
=−=−⋅+⋅
.
2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
Производная неявной функции
(
)
xyy
=
, заданной с помощью уравнения
()
0; =yxF
, где
(
)
yxF ;
- дифференцируемая функция переменных x и y, может
быть вычислена по формуле
y
F
x
F
y
∂
∂
∂
∂
−=
′
при условии 0≠
∂
∂
y
F
.
Производные высших порядков неявной функции можно найти последо-
вательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом y
как функцию от x.
Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных
()
yxz ,
ϕ
=
, заданной с помощью уравнения
(
)
0;;
=
zyxF
, где
()
zyxF ;;
- диффе-
ренцируемая функция переменных x, y и z, может, могут быть вычислены по
формулам:
z
F
x
F
x
z
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
,
z
F
y
F
y
z
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
при условии 0≠
∂
∂
z
F
.
Пример 1. Найти производную функции y, заданную уравнением
03
33
=−+ xyyx
. 
                         ∂z   ∂z                                    ⎧ x = u + v,
Пример 3. Найти             и    , если z = x 2 + y 2 , где         ⎨            .
                         ∂u ∂v                                      ⎩y = v − v

Решение.
              ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
                = ⋅   +  ⋅
              ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
                             = x2 + y2       (           )
                                                         /
                                                         x                  (
                                                             ⋅ (u + v )u/ + x 2 + y 2   )/
                                                                                         y   ⋅ (u − v )u/ =

= 2 x ⋅ 1 + 2 y ⋅ 1 = 2( x + y ) = 2(u + v + u − v ) = 4u .
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
  = ⋅ +    ⋅ = x2 + y2
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
                             (          )/
                                         x                   (
                                             ⋅ (u + v )v/ + x 2 + y 2   )
                                                                        /
                                                                        y   ⋅ (u − v )v/ =

= 2 x ⋅ 1 + 2 y ⋅ (− 1) = 2( x − y ) = 2(u + v − u + v ) = 4v .
                   2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно

       Производная неявной функции y = y ( x ) , заданной с помощью уравнения
F ( x; y ) = 0 , где F ( x; y ) - дифференцируемая функция переменных x и y, может
                                  ∂F
                                                 ∂F
быть вычислена по формуле y ′ = − ∂x при условии    ≠ 0.
                                  ∂F             ∂y
                                  ∂y

       Производные высших порядков неявной функции можно найти последо-
вательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом y
как функцию от x.
       Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных
z = ϕ ( x, y ) , заданной с помощью уравнения F ( x; y; z ) = 0 , где F ( x; y; z ) - диффе-
ренцируемая функция переменных x, y и z, может, могут быть вычислены по
                 ∂F                 ∂F
          ∂z          ∂z            ∂y             ∂F
формулам:    = − ∂x ,    =−            при условии    ≠ 0.
          ∂x     ∂F ∂y              ∂F             ∂z
                 ∂z                 ∂z
       Пример 1. Найти производную функции y, заданную уравнением
x 3 + y 3 − 3 xy = 0 .




                                                    33

Страницы