Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 35 стр.

                                                                                              ∂F
          Решение3.            Здесь     F ( x; y ) = x 3 + y 3 − 3 xy .        Находим          = 3x 2 − 3 y ,
                                                                                              ∂x
                                        ∂F
∂F                                    3x 2 − 3 y y − x 2
   = 3 y 2 − 3x . Тогда y ′ = − ∂x = − 2        =        .
∂y                              ∂F    3 y − 3x y 2 − x
                                        ∂y

                                     ∂z   ∂z
          Пример 2. Найти               и    для функции xyz = x + y + z .
                                     ∂x ∂y
                                                                                   ∂F           ∂F
Решение. Здесь F ( x; y; z ) = xyz − x − y − z . Находим                              = yz − 1,    = xz − 1 ,
                                                                                   ∂x           ∂y

                          ∂F                                                 ∂F
∂F                 ∂z            yz − 1 1 − yz ∂z                            ∂y    xz − 1 1 − xz
   = xy − 1. Тогда    = − ∂x = −       =      ,   =−                            =−       =       .
∂z                 ∂x     ∂F     xy − 1 xy − 1 ∂y                            ∂F    xy − 1 xy − 1
                          ∂z                                                 ∂z
                               2.7. Частные производные высших порядков

          Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные
производные f x′ ( x, y ) и f y′ ( x, y ) тоже будут определены в той же области или

ее части. Эти производные называют частными производными первого поряд-
ка.
          Производные от частной производной первого порядка называют част-
ными производными второго порядка:
           ∂2 z                        ∂2z                      2
                                                                                        ∂2z
                      ′′ ( x, y );
                  = f xx                          ′′ ( x, y ); ∂ z = f xy′′ ( x, y );
                                              = f yy                                             ′′ ( x, y ).
                                                                                             = f yx
           ∂x 2                        ∂y 2                     ∂x∂y                    ∂y∂x

          Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные
производные               более      высоких          порядков.          Частные        производные             вида
∂2z ∂2 z    ∂3 z   ∂3 z
    ;    ;       ;      и т.д. называются смешанными производными.
∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y∂x ∂x∂y∂y
          Теорема (Шварц). Две смешанные частные производные одного поряд-
ка одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирова-

3
    Другой способ решения смотрите пример в пункте 1.8.

                                                           34