Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 36 стр.

ния, в случае, когда они являются непрерывными функциями, равны между со-
              ∂2 f   ∂2 f
бой (например      =      ).
              ∂x∂y ∂y∂x

           Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка диф-
ференцирования.
           Пример. Найти все частные производные второго порядка функции
       ⎛ x2         ⎞
z = ln⎜⎜            ⎟.
                    ⎟
       ⎝ y          ⎠
           Решение. Используя свойства логарифмов преобразуем выражение
       ⎛ x2         ⎞
z = ln⎜⎜            ⎟ = 2 ln x − ln y . Найдем частные производные первого порядка ∂z = 2
                    ⎟                                                              ∂x x
       ⎝ y          ⎠
                                                                                                                           /
  ∂z    1                                             ∂2z ⎛ 2⎞         2
и    = − . Найдем частные производные второго порядка     = ⎜  ⎟   = −    ,
  ∂y    y                                             ∂x 2 ⎝ x ⎠ x     x2
                     /                               /                                   /
∂2z ⎛ 2 ⎞      ∂2z ⎛ 1 ⎞      1 ∂2z ⎛ 1 ⎞
    = ⎜ ⎟ = 0 , 2 = ⎜⎜ − ⎟⎟ = 2 ,     = ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 .4
∂x∂y ⎝ x ⎠ y   ∂y    ⎝ y⎠y y      ∂y∂x ⎝ y ⎠ x

                                       2.8. Дифференциалы высших порядков

           Определим дифференциалы высших порядков:
                         dz = f x′ ( x, y )dx + f y′ ( x, y ) - дифференциал первого порядка;

                [                                    ]
    d 2 z = d f x′ ( x, y ) dx + f y′ ( x, y ) dy = f x′′2 ( x, y )( dx ) 2 + 2 f xy
                                                                                  ′′ ( x, y ) dxdy + f y′′2 ( x, y )( dy ) 2 -

                                          дифференциал второго порядка;
       d 3 z = f x′′3′ ( x, y )( dx )3 + 3 f x′′2′ y ( x, y )( dx ) 2 dy + 3 f xy′′′ 2 ( x, y )dx ( dy ) 2 + f y′′′3 ( x, y )( dy )3 -

                                          дифференциал третьего порядка;
                                                             …………………




4                    ∂2z
    Можно было            не искать, а сослаться на теорему Шварц.
                     ∂y∂x

                                                                    35