Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

37
ния их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует
т.е.
)(
)(
lim
0
0
)(
)(
lim
xg
xf
или
xg
xf
axax
′
′
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
→→
.
Пример 1. Вычислить пределы.
а)
ee
xx
x
x
−
+−
→
ln1
lim
2
1
.
Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления преде-
ла получается неопределенность вида
0
0
. Функции, входящие в числитель и
знаменатель дроби, удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
ee
xx
x
x
−
+−
→
ln1
lim
2
1
=
ee
e
x
x
xg
xf
x
x
312
1
2
)(
)(
lim
1
=
+
=
+
=
′
′
→
;
б)
1
2
lim
3
−
−
∞→
x
x
e
arctgx
π
.
Решение.
3
2
)3(1)10(
2
)3()1(
2
lim
3
2
2
=
−⋅⋅+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
−
∞→
x
x
ex
x
.
Замечание.
1. Если при решении примера после применения правила Лопиталя по-
пытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопи-
таля может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен ре-
зультат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь получен-
ные функции в свою очередь
удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
2. Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из спосо-
бов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Ло-
питаля может быть использован и какой – либо другой метод (замена перемен-
ных, домножение и др.).
в)
x
x
xee
xx
x
sin
2
lim
0
−
−−
−
→
. 
ния их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует
           f ( x) ⎡ ∞   0⎤       f ′( x)
т.е. lim         = ⎢ или ⎥ = lim         .
    x →a   g ( x) ⎣ ∞   0 ⎦ x →a g ′( x)
      Пример 1. Вычислить пределы.
                  x 2 − 1 + ln x
      а) lim                       .
           x →1      ex − e
      Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления преде-
                                                         0
ла получается неопределенность вида                        . Функции, входящие в числитель и
                                                         0
знаменатель дроби, удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
                                                    1
                                                2x +
            x 2 − 1 + ln x         f ′( x)          x = 2 +1 = 3 ;
      lim                  = lim            =
       x →1     ex −e         x →1 g ′( x )      ex       e    e

                π − 2arctgx
      б) lim         3
                              .
         x →∞
                   e −1
                     x



                    ⎡                      ⎤
                    ⎢        2x 2          ⎥=      −2            2
      Решение. lim    −                                        =
                                           ⎥ (0 + 1) ⋅ 1 ⋅ (−3) 3 .
               x →∞ ⎢              3
                    ⎢⎣ (1 + x 2 )e x (−3) ⎥⎦

      Замечание.
      1. Если при решении примера после применения правила Лопиталя по-
пытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопи-
таля может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен ре-
зультат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь получен-
ные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
      2. Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из спосо-
бов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Ло-
питаля может быть использован и какой – либо другой метод (замена перемен-
ных, домножение и др.).
              e x − e− x − 2 x
      в) lim                   .
         x →0     x − sin x


                                                       37

Страницы