Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

39
010006,0)2001,0001,02343(001,0)2)(33(12
122)()(33)12()1)(2)((
222
3322333
=−+⋅⋅−⋅=−Δ+Δ+Δ=−+
+−+Δ−−Δ+Δ+Δ+=+−−+Δ+−Δ+=Δ
xxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxy
Абсолютная погрешность приближения равна 0,000006.
Формула используемая для вычисления приближенных значений функций
:
xxfxfxxf Δ
′
+
≈Δ+ )()()(
Пример 2. Вычислить приближенно arctg1,05.
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=arctgx.
Имеем:
2
1
)()(
x
x
arctgxxarctgxarctgxxxarctg
+
Δ
+=Δ
′
+≈Δ+
. Так как
05,1=Δ+ xx
, то x=1
и
Δ
x=0,05. Получаем:
810,0025,0
4
11
05,0
105,1
2
≈+=
+
+≈
π
arctgarctg
3.3 Касательная плоскость и нормаль к плоскости кривой.
Угол между двумя кривыми
Если плоская кривая задана функцией
(
)
xfy
=
, то уравнения касательной и нормали в
точке
(
)
00
; yxM имеют вид:
Уравнение касательной к кривой:
))((
000
xxxfyy
′
.
Уравнение нормали к кривой:
)(
)(
1
0
0
0
xx
xf
yy −
′
−=−
.
Рис. 5
Замечание. Направление кривой в каждой ее точке определяется направ-
лением касательной в этой точке.
Угол между пересекающими кривыми определяется как угол между дву-
мя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле
21
21
1 kk
kk
tg
⋅+
−
=
ϕ
, где
1
k и
2
k - угловые коэффициенты касательных к кривым в 
Δy = (( x + Δx) 3 − 2( x + Δx) + 1) − ( x 3 − 2 x + 1) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x(Δx) 2 + (Δx) 3 − 2 x − 2Δx + 1 − x 3 +
+ 2 x − 1 = Δx(3 x 2 + 3xΔx + (Δx) 2 − 2) = 0,001(3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 ⋅ 0,001 + 0,0012 − 2) = 0,010006

        Абсолютная погрешность приближения равна 0,000006.
        Формула используемая для вычисления приближенных значений функций:
 f ( x + Δx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) Δx

        Пример 2. Вычислить приближенно arctg1,05.
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=arctgx.
                                                                        Δx
Имеем: arctg ( x + Δx) ≈ arctgx + (arctgx )′Δx = arctgx +                    . Так как x + Δx = 1,05 , то x=1
                                                                       1+ x2
                                                         0,05 π
и Δx=0,05. Получаем: arctg1,05 ≈ arctg1 +                     = + 0,025 ≈ 0,810
                                                        1 + 12 4



                 3.3 Касательная плоскость и нормаль к плоскости кривой.
                                       Угол между двумя кривыми

                                                 Если         плоская           кривая    задана     функцией
                                         y = f ( x ) , то уравнения касательной и нормали в
                                         точке M ( x 0 ; y 0 ) имеют вид:
                                                 Уравнение                  касательной          к    кривой:
                                         y − y 0 = f ′( x0 )( x − x0 ) .

                                                 Уравнение                      нормали      к        кривой:
                                                          1
                                         y − y0 = −              ( x − x0 ) .
                                                       f ′( x0 )

        Рис. 5
        Замечание. Направление кривой в каждой ее точке определяется направ-
лением касательной в этой точке.
        Угол между пересекающими кривыми определяется как угол между дву-
мя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле
          k1 − k 2
tgϕ =                , где k1 и k 2 - угловые коэффициенты касательных к кривым в
        1 + k1 ⋅ k 2


                                                         39

Страницы