Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

41
Уравнение касательной:
()
1
4
1
1 −=+ xy или
4
5
4
1
−= xy .
Уравнение нормали
:
(
)
141
−
−
=
+
xy или 34
+
−
=
x
y .
в)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
,
,1
3
2
tty
tx
при 2
0
=t .
Решение. Найдём
321
2
0
−=−=x
,
622
3
0
−=−=y
и
()
()
()
t
t
t
tt
xy
t
t
2
31
1
2
/
2
/
3
−
−
=
−
−
=
′
.
Следовательно
()
4
11
22
231
2
0
=
⋅−
⋅−
=
′
xy
.
Уравнение касательной
:
()
3
4
11
6 +=+ xy
или
4
9
4
11
+= xy
.
Уравнение нормали:
()
3
11
4
6 +−=+ xy
или
11
78
11
4
−−= xy
.
Пример 2. Найти угол между параболами
2
8 xy −= и
2
xy = .
Решение. Решив совместно уравнения парабол, находим точки их пере-
сечения
()
4;2A и
()
4;2−B . Продифференцируем уравнения парабол: xy 2
−
=
′
,
xy 2=
′
. Найдём угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (то
есть значения производных при х=2):
4
1
−
=
k
,
4
2
=k
. Следовательно,
15
8
161
44
1
−=
−
+
=
ϕ
tg ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
15
8
1
arctg
ϕ
. Так же определяется угол между кривыми в
точке В:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
15
8
2
arctg
ϕ
.
3.4. Исследование функций
1) Интервалы монотонности. Точки экстремума.
Теорема 1.
Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и воз-
растает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, то
есть f
′
(x) ≥ 0. 
                                                 1
         Уравнение касательной: y + 1 =            (x − 1) или y = 1 x − 5 .
                                                 4                 4     4
         Уравнение нормали: y + 1 = −4( x − 1) или y = −4 x + 3 .

   ⎧⎪ x = 1 − t 2 ,
в) ⎨                 при t 0 = 2 .
    ⎪⎩ y = t − t 3 ,

                                     2                      3            y ′( x ) =
                                                                                    (t − t )
                                                                                         3 /
                                                                                           t
                                                                                               =
                                                                                                   1 − 3t 2
Решение. Найдём x 0 = 1 − 2 = −3 , y 0 = 2 − 2 = −6 и                                                       .
                                                                                    (1 − t )
                                                                                         2 /
                                                                                           t
                                                                                                     − 2t

                          1 − 3 ⋅ 2 2 11
Следовательно y ′(x 0 ) =            = .
                            − 2⋅2      4

Уравнение касательной: y + 6 =
                                         11
                                            (x + 3) или y = 11 x + 9 .
                                          4                  4     4
                                      4
Уравнение нормали: y + 6 = −            (x + 3) или y = − 4 x − 78 .
                                     11                  11     11

         Пример 2. Найти угол между параболами y = 8 − x 2 и y = x 2 .
         Решение. Решив совместно уравнения парабол, находим точки их пере-
сечения A(2; 4) и B(− 2; 4) . Продифференцируем уравнения парабол: y ′ = −2 x ,
y ′ = 2 x . Найдём угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (то
есть значения производных при х=2):                       k1 = − 4 , k 2 = 4 . Следовательно,
         4+4        8             ⎛ 8⎞
tgϕ1 =          = − , ϕ 1 = arctg ⎜ − ⎟ . Так же определяется угол между кривыми в
         1 − 16    15             ⎝ 15 ⎠

точке В: ϕ 2 = arctg ⎛⎜
                          8⎞
                            ⎟.
                       ⎝ 15 ⎠

                                     3.4. Исследование функций

1) Интервалы монотонности. Точки экстремума.
         Теорема 1. Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и воз-
растает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, то
есть f′(x) ≥ 0.




                                                  41

Страницы