Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 43 стр.

          Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифферен-
цируема на промежутке (а, b), причем f′(x) > 0 для a < x < b, то эта функция воз-
растает на отрезке [a, b].
          Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на
отрезке [a, b], то f′(x)≤0 на этом отрезке. Если f′(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x)
убывает на отрезке [a, b].
Функция f(x) имеет в точке x1 максимум, если f ( x1 + Δx ) < f ( x1 ) при любом Δх7.

Функция f(x) имеет в точке x2 минимум, если f ( x2 + Δx ) > f ( x2 ) при любом Δх.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
          Замечание. Очевидно, что функция, определенная на отрезке может
иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрез-
ка.
          Теорема 3 (необходимое условие существования экстремума) Если
функция f(x) дифференцируема в точке x = x1 и точка x1 является точкой экс-
тремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
          Следствие. Обратное утверждение неверно: если производная функции в
некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция
имеет экстремум.
          Например, этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0
равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум
или минимум.
          Критическими точками функции называются точки, в которых произ-
водная функции не существует или равна нулю.
          Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существо-
вания экстремума, но этого недостаточно.




7
    Δх может быть и отрицательным.

                                         42