Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 45 стр.

е) f ′( x 0 ) не существует, f ′( x 0 − Δx) < 0 , f ′( x 0 + Δx) < 0 ⇒ x 0 - экстремума нет;
ж) f ′( x 0 ) = 0 , f ′( x 0 − Δx) > 0 , f ′( x 0 + Δx) > 0 ⇒ x 0 - экстремума нет.
       Теорема 4 (достаточные условия существования экстремума).                      Пусть
функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую
точку x1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может
быть, самой точки x1 ). Если при переходе через точку x1 слева направо произ-

водная функции f′(x) меняет знак с «+» на «-», то в точке x = x1 функция f(x)
имеет максимум, а если производная меняет знак с «-» на «+»- то функция име-
ет минимум.
       На основе вышесказанного получаем алгоритм нахождения наибольшего
и наименьшего значения функции на отрезке:
       1) Найти критические точки функции.
       2) Найти значения функции в критических точках.
       3) Найти значения функции на концах отрезка.
       4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
2) Интервалы выпуклости. Точка перегиба.
       Пусть в точке x = x1 f ′( x1 ) = 0 и f ′′( x1 ) существует и непрерывна в неко-
торой окрестности точки x1 , тогда:
       Теорема 5. Если f ′( x1 ) = 0 , то функция f(x) в точке x = x1 имеет максимум,

если f ′′( x1 ) < 0 и минимум, если f ′′( x1 ) > 0 .
       Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точ-
ки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная
выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью
вниз – называется вогнутой.
       Теорема 6. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная
функции f ( x ) отрицательна, то кривая y = f ( x ) обращена выпуклостью вверх
(выпукла).


                                               44