Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

46
3. исследовать поведение функции на
∞
±
;
4.
найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в этих точках;
5.
найти точки пересечения графика функции с осями координат и интерва-
лы знакопостоянства;
6.
найти асимптоты графика функции;
7.
найти точки экстремума и интервалы возрастания, убывания функции;
8.
найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции;
9.
построить график функции, используя все полученные результаты иссле-
дования, если их окажется недостаточно, то следует найти ещё несколько точек
графика функции, исходя из её уравнения.
Пример 1. Исследуем функцию
23
)(
2
2
+
−
+
=
x
x
xx
xf
и построим её график.
1) Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и 2, так что функцию можно пред-
ставить в виде
)2)(1(
)(
2
−−
+
=
xx
xx
xf
Теперь легко видеть, что области определения функции не принадлежат
только точки 1 и 2: D(f)=(-∞;1)∪(1;2)∪(2;+∞).
Область значений E(f) найти без всяких вычислений мы не можем; отло-
жим этот вопрос до нахождения локальных экстремумов.
2) Поскольку область определения D(f) не симметрична относительно точки 0,
функция не может быть ни
чётной, ни нечётной. Очевидно также, что она не
периодична (хотя бы потому, что её область определения не имеет периодиче-
ской структуры).
3)
1
23
1
1
1
lim
23
lim
2
2
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
+−
+
±∞→±∞→
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
.
4) Область определения этой элементарной функции имеет две граничных точ-
ки: 1 и 2. 
3.     исследовать поведение функции на ± ∞ ;
4.     найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в этих точках;
5.     найти точки пересечения графика функции с осями координат и интерва-
лы знакопостоянства;
6.     найти асимптоты графика функции;
7.     найти точки экстремума и интервалы возрастания, убывания функции;
8.     найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции;
9.     построить график функции, используя все полученные результаты иссле-
дования, если их окажется недостаточно, то следует найти ещё несколько точек
графика функции, исходя из её уравнения.
                                                   x2 + x
       Пример 1. Исследуем функцию f ( x) =                  и построим её график.
                                                x 2 − 3x + 2
1) Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и 2, так что функцию можно пред-
                             x2 + x
ставить в виде f ( x) =
                        ( x − 1)( x − 2)

       Теперь легко видеть, что области определения функции не принадлежат
только точки 1 и 2: D(f)=(-∞;1)∪(1;2)∪(2;+∞).
       Область значений E(f) найти без всяких вычислений мы не можем; отло-
жим этот вопрос до нахождения локальных экстремумов.
2) Поскольку область определения D(f) не симметрична относительно точки 0,
функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Очевидно также, что она не
периодична (хотя бы потому, что её область определения не имеет периодиче-
ской структуры).

                                       2 ⎛       1⎞
                                     x   ⋅ ⎜ 1 +  ⎟
            x2 + x      ⎡∞ ⎤               ⎝     x⎠
3) lim 2              = ⎢ ⎥ = lim                         = 1.
   x → ±∞ x − 3 x + 2   ⎣ ∞ ⎦ x →±∞ 2 ⎛       3 2     ⎞
                                   x ⋅ ⎜1 − + 2       ⎟
                                       ⎝      x x     ⎠
4) Область определения этой элементарной функции имеет две граничных точ-
ки: 1 и 2.



                                           46

Страницы