Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

48
Наклонная асимптота находится по формуле bk
x
y += , где
()
()
0
1
lim
23
1
1
1
lim
23
limlim
2
3
2
2
2
2
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+−⋅
+
==
±∞→±∞→±∞→±∞→
x
x
x
x
x
x
xxx
xx
x
xf
k
xxxx
, а
()()
1
23
limlim
2
2
=
+
−
+
=−=
±∞→±∞→
xx
xx
kxxfb
xx
⇒ y=1 – прямая, которая служит гори-
зонтальной асимптотой графика как при x→-∞, так и при x→+∞.
7) Найдём производную:
22
2
)2()1(
244
)(
−−
++−
=
′
xx
xx
xf
.
Для нахождения интервалов возрастания решим неравенство
0)( >
′
xf , эк-
вивалентное квадратному неравенству
0244
2
>++− xx (при 2,1 ≠≠ xx ), посколь-
ку знаменатель принимает положительные значения. Решением квадратного
неравенства служит интервал
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
2
3
2
1
;
2
3
2
1
; однако точка x=1, не входящая в
область определения, принадлежит этому интервалу. Тем самым, интервалов
возрастания функции два: это
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− 1;
2
3
2
1
и
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
3
2
1
;1
.
Для нахождения интервалов убывания нужно решить неравенство
0)( <
′
xf , или ( 0244
2
>++− xx при 2,1
≠
≠
xx ). Решением квадратного неравенства
служит, очевидно, объединение двух интервалов
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−∞−
2
3
2
1
;
и
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+∞+ ;
2
3
2
1
;
точка x=2 делит второй из них на две части. Тем самым, функция убывает на
трёх интервалах:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−∞−
2
3
2
1
;
, и
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ 2;
2
3
2
1
, (2;+∞).
1
2
3
2
1
+
2
2
3
2
1
−
Наклонная        асимптота              находится                     по       формуле         y = kx + b ,   где

                                                       2⎛     1 ⎞
                                                     x  ⎜ 1 +    ⎟
           f (x )              x2 + x                   ⎝     x2 ⎠                                   1
  k = lim         = lim                     = lim                                            = lim     = 0,
                                 (                      )
                                                                                                                а
     x → ±∞ x      x → ±∞ x ⋅ x 2 − 3 x + 2  x → ±∞ 3 ⎛     3 2                          ⎞    x → ±∞ x
                                                   x ⎜1 − + 2                            ⎟
                                                      ⎝     x x                          ⎠
                                       x2 + x
b = lim ( f ( x ) − kx ) = lim                              = 1 ⇒ y=1 – прямая, которая служит гори-
    x → ±∞                x → ±∞     x 2 − 3x + 2
зонтальной асимптотой графика как при x→-∞, так и при x→+∞.
                                                 − 4x 2 + 4x + 2
7) Найдём производную: f ′( x) =                                      .
                                                ( x − 1) 2 ( x − 2) 2

      Для нахождения интервалов возрастания решим неравенство f ′( x) > 0 , эк-
вивалентное квадратному неравенству − 4 x 2 + 4 x + 2 > 0 (при x ≠ 1, x ≠ 2 ), посколь-
ку знаменатель принимает положительные значения. Решением квадратного
                                           ⎛1         3 1             3⎞
неравенства служит интервал ⎜⎜ − ; + ⎟⎟ ; однако точка x=1, не входящая в
                             ⎝2 2 2 2 ⎠

область определения, принадлежит этому интервалу. Тем самым, интервалов
                                           ⎛1        3 ⎞ ⎛ 1        3⎞
возрастания функции два: это ⎜⎜ −                     ;1⎟⎟ и ⎜⎜1; +  ⎟.
                                           ⎝2       2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

      Для нахождения интервалов убывания нужно решить неравенство
f ′( x) < 0 , или ( − 4 x 2 + 4 x + 2 > 0 при x ≠ 1, x ≠ 2 ). Решением квадратного неравенства

                                               ⎛     1  3⎞    ⎛1  3    ⎞
служит, очевидно, объединение двух интервалов ⎜⎜ − ∞; − ⎟⎟ и ⎜⎜ + ;+∞ ⎟⎟ ;
                                               ⎝     2 2 ⎠    ⎝2 2     ⎠

точка x=2 делит второй из них на две части. Тем самым, функция убывает на
                  ⎛     1  3⎞      ⎛1  3 ⎞
трёх интервалах: ⎜⎜ − ∞; − ⎟⎟ , и ⎜⎜ + ;2 ⎟⎟ , (2;+∞).
                     ⎝  2 2         2 2⎠        ⎝                 ⎠




                 1
                   −
                      3                1               1
                                                         +
                                                            3              2
                 2   2                                 2   2




                                                             48

Страницы