Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

49
Точка
2
3
2
1
1
−=x является точкой минимума,
2,0734
323
323
)(
1min
−≈−=
+
−
== xff . Точка
2
3
2
1
2
+=x
является точкой максиму-
ма,
8,13734
323
323
)(
2max
−≈−−=
−
+
== xff
Теперь мы можем записать область значений функции:
это E(f)=(-∞; f
max
]∪[f
min
;+∞)≈(-∞;-13,8]∪[-0,2;+∞).
8) Найдём вторую производную:
33
23
)2()1(
532
4)(
−−
++−
=
′′
xx
xxx
xf
.
Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости нужно решить не-
равенство
0)( >
′′
xf . Заметим, что числитель 532
23
+
+
−
x
x
x
меняет знак при
переходе через точку. x
0
≈-0,919 .Поскольку знаменатель содержит нечётные
степени биномов x-1 и x-2, то они также меняют знак при переходе, соответст-
венно, через точки x=1 и x=2. Итак,
)(xf
′
′
меняет знак при переходе через три
точки: x
0
, 1 и 2. Из этих трёх точек функция f(x) непрерывна только в точке x
0
,
так что это единственная точка перегиба. Методом интервалов легко выясняем,
что на интервалах (-∞;x
0
) и (1;2) функция выпукла, а на интервалах (x
0
;1) и
(2;+ ∞) - вогнута.
Интервалы выпуклости, вогнутости
9) С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции. 
                                     1   3
        Точка                 x1 =     −           является                     точкой   минимума,
                                     2 2

                     3− 2 3                                        1   3
f min = f ( x1 ) =            = 4 3 − 7 ≈ −0,2 . Точка x 2 =         +   является точкой максиму-
                     3+ 2 3                                        2 2

                         3+ 2 3
ма, f max = f ( x2 ) =            = −4 3 − 7 ≈ −13,8
                         3−2 3

        Теперь мы можем записать область значений функции:
        это E(f)=(-∞; fmax]∪[fmin;+∞)≈(-∞;-13,8]∪[-0,2;+∞).
                                                            2 x 3 − 3x 2 + x + 5
8) Найдём вторую производную: f ′′( x) = 4                                         .
                                                             ( x − 1) 3 ( x − 2) 3

        Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости нужно решить не-
равенство f ′′( x) > 0 . Заметим, что числитель 2 x 3 − 3x 2 + x + 5 меняет знак при
переходе через точку.                 x0≈-0,919 .Поскольку знаменатель содержит нечётные
степени биномов x-1 и x-2, то они также меняют знак при переходе, соответст-
венно, через точки x=1 и x=2. Итак, f ′′(x) меняет знак при переходе через три
точки: x0, 1 и 2. Из этих трёх точек функция f(x) непрерывна только в точке x0 ,
так что это единственная точка перегиба. Методом интервалов легко выясняем,
что на интервалах               (-∞;x0) и (1;2) функция выпукла, а на интервалах (x0 ;1) и
(2;+ ∞) - вогнута.




        Интервалы выпуклости, вогнутости
9) С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции.




                                                       49

Страницы