Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 52 стр.

                                                                                                                     Таблица 1.
                                                  ⎧ x = x(t ),
при y = f (x)                                 при ⎨                                          при r = r (ϕ )
                                                  ⎩ y = y (t )

             y //                                         xt/ ytt// − yt/ xtt//                      r 2 + 2(r / ) 2 − rr //
K=                                            K=                                             K=
     (1 + ( y / ) 2 )3 / 2                            (( xt/ ) 2 + ( yt/ ) 2 )3 / 2                   ( r 2 + ( r / ) 2 )3 / 2
                                                                                                                          1
      Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне: R =                                                         .
                                                                                                                          K

                                                                                                                             1
      Пример 1. Найти кривизну линии y = − x3 в точке с абсциссой x =                                                          .
                                                                                                                             2
                                  ⎛1⎞    3                                                          ⎛1⎞
Решение. Найдем y ′ = −3x 2 , y / ⎜ ⎟ = − ,                                       y ′′ = −6 x , y ′′⎜ ⎟ = −3 .
                                  ⎝2⎠    4                                                          ⎝2⎠


            −3               192
K=                      =          .
          9 3/ 2             125
     (1 + )
         16

      Окружностью кривизны данной линии в ее точке А называется предель-
ное положение окружности, проходящей через три точки A, B ,C кривой, когда
B → A и C → A . Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны.

      Центр окружности кривизны называется центром кривизны и находится
на нормали к линии, проведенной в точке А в сторону вогнутости этой линии.
      Координаты ξ и η центра кривизны линии y = f (x) вычисляются по

                              y / (1 + ( y / ) 2 )                   1 + ( y / )2
формулам: ξ = x −                                    , η = y+                         .
                                       y //                                y //
      Эволютой линии называется множество ее центров кривизны.
      Пример 2. Составить уравнение эволюты параболы 2 y 2 = 2 x + 1 .
                                                                                                 1
Решение. Продифференцируем 2 раза: 4 yy ′ = 2,                                            y′ =      ⇒ 4( y ′) 2 + 4 y ′′ = 0
                                                                                                 2y
              ′ 2
⇒ y ′′ = − ( y ) = − 1 . Определяем координаты центра кривизны:
               y      3
                             4y


                                                                  51