Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

52
2
3
2
2
2
3
4
1
2
1
)
4
1
1(
2
1
))(1(
y
y
y
y
y
y
yy
x =
−
⋅+
−−=
′′
′′
+
−=
ξ
,
33
3
22
44
4
1
4
1
1
)(1
yyyy
y
y
y
y
y
y −=−−=
−
+
+=
′′
′
+
+=
η
.
Получаем уравнение эволюты в параметрической форме:
2
3y=
ξ
,
3
4y−=
η
.
Исключив параметр у, получим уравнение эволюты:
27
16
3
2
ξ
η
= .
3.6 Применение в экономике
а) Предельные показатели в экономике
Зависимость себестоимости С произведённой продукции от её объёма Q:
()
QfС = . Предельная себестоимость характеризуется себестоимостью
C
Δ
прироста продукции QΔ :
Q
C
MC
Δ
Δ
= . Если между
C
Δ
и Q
Δ
непрерывная зави-
симость, то
()
QC
Q
C
МС
Q
′
=
Δ
Δ
=
→Δ 0
lim .
Пример 1. Зависимость издержек производства от объёма выпускаемой
продукции выражается формулой
3
05,020 QQС −= денежных единиц. Опреде-
лить средние и предельные издержки при объёме продукции стоимостью Q=10
ден. ед.
Решение. Средние издержки на единицу продукции определяется по
формуле
151005,02005,020
05,020
22
3
=⋅−=−=
−
== Q
Q
QQ
Q
С
С (ден. ед).
Предельные издержки находятся по формуле
()
510015,020305,02005,020
23
=⋅−=⋅−=
′
−=
′
QQQC
(ден. ед). 
                                                    1            1
                   2
                                         (1 +           2
                                                            )⋅
          (1 + ( y ′) ) y ′       1             4y               2y
ξ =x−                       = y2 − −                                  = 3y 2 ,
                 y ′′             2                     1
                                                −
                                                    4y3
                                   1
                             1+
         1 + ( y ′) 2             4y2
η = y+                = y+            = y − 4 y 3 − y = −4 y 3 .
             y ′′                  1
                             −
                                  4y3

Получаем уравнение эволюты в параметрической форме: ξ = 3y 2 , η = −4 y 3 .

                                                    16ξ 3                         2
Исключив параметр у, получим уравнение эволюты: η =       .
                                                     27
                                        3.6 Применение в экономике

а) Предельные показатели в экономике
         Зависимость себестоимости С произведённой продукции от её объёма Q:
  С = f (Q ) . Предельная себестоимость характеризуется себестоимостью ΔC
                                                ΔC
прироста продукции ΔQ : MC =                       . Если между ΔC и ΔQ непрерывная зави-
                                                ΔQ
                             ΔC
симость, то МС = lim            = C ′(Q ) .
                       ΔQ →0 ΔQ

         Пример 1. Зависимость издержек производства от объёма выпускаемой
продукции выражается формулой С = 20Q − 0,05Q 3 денежных единиц. Опреде-
лить средние и предельные издержки при объёме продукции стоимостью Q=10
ден. ед.
         Решение. Средние издержки на единицу продукции определяется                            по
           С 20Q − 0,05Q 3
формуле С = =              = 20 − 0,05Q 2 = 20 − 0,05 ⋅ 10 2 = 15 (ден. ед).
           Q      Q
         Предельные                    издержки                       находятся       по   формуле

     (             ′
                        )
C ′ = 20Q − 0,05Q 3 = 20 − 0,05 ⋅ 3Q 2 = 20 − 0,15 ⋅ 100 = 5 (ден. ед).


                                                                 52

Страницы