Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 55 стр.

         Решение.

           С ′(Q )    (50 − 0,5Q )′      − 0,5           − 0,5
E (С ) = Q         =Q               =Q           = 30               ≈ −0,42 .
           C (Q )       50 − 0,5Q      50 − 0,5Q      50 − 0,5 ⋅ 30
         Ответ: увеличение данного объёма выпуска на 1% приведёт к снижению
его себестоимости примерно на 0,42%.
                              3.7. Применение в физике

         Пример 1. Тело массой 6г. движется прямолинейно по закону

S = −1 + ln(t + 1) + (t + 1)3 (S-выражено в сантиметрах, t- в секундах). Требуется

                                ⎛ mv 2 ⎞
вычислить кинетическую энергию ⎜⎜      ⎟ через 1 секунду после начала движе-
                                       ⎟
                                ⎝  2   ⎠
ния.
         Решение. Скорость движения равна производной пути по времени:
                                                                        2
                                                            ⎛ 25 ⎞
                                                       2  6⋅⎜ ⎟
                 1                               25 mv              3
                                                         = ⎝ ⎠ = 468 (эрг).
                                                               2
v(t ) = S t/ =      + 3(t + 1)2 . Поэтому v(1) =   и
               t +1                              2   2        2     4
         Пример 2. Плот подтягивается к берегу при помощи каната, который на-
матывается на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения
плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет равно 25м, если ворот
расположен на берегу выше поверхности воды на 4м.
         Решение. Обозначим через S длину каната между воротом и плотом и че-
рез х – расстояние от плота до берега. По условию S 2 = x 2 + 4 2 (по теореме Пи-
фагора). Дифференцируя полученное соотношение по времени t, найдём зави-
                                                                      S /
симость между их скоростями: 2SSt/ = 2 xxt/ , откуда xt/ =              ⋅ S t . Учитывая что
                                                                      x

                                                             25 2 + 4 2
S t/                      2    2
       = 3 ; x = 25 ; S = 25 + 4 ≈ 25,3 , получаем   xt/   =            ⋅ 3 ≈ 3,03 ( м / мин ) .
                                                               25




                                          54