Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

55
§4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть N и N
0
– точки данной по-
верхности. Проведем прямую NN
0
.
Плоскость, которая проходит через
точку N
0
, называется касательной
плоскостью к поверхности, если угол
между секущей NN
0
и этой плоскостью
Рис.9 стремится к нулю, когда стремится к
нулю расстояние NN
0
.
Нормалью
к поверхности в точке N
0
называется прямая, проходящая че-
рез точку N
0
перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
Замечание. В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну
касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, y), запишем её в неявном
виде
()
0;; =zyxF
, где
()
zyxF ;;
– функция, дифференцируемая в точке
);;(
0000
zyxN . Тогда касательная плоскость существует и имеет уравнение
() () ()
0
000
0
0
0
=−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
zz
z
F
yy
y
F
xx
x
F
N
N
N
.
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
0
0
0
000
N
N
N
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно-
сти yxyxyxz 22
22
+−+−= в точке М (1, 1, 1). 
            §4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ
                             НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ


                4.1 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

                                                        Пусть N и N0 – точки данной по-
                                                верхности.       Проведем        прямую      NN0.
                                                Плоскость, которая проходит через
                                                точку      N0,    называется         касательной
                                                плоскостью к поверхности, если угол
                                                между секущей NN0 и этой плоскостью
               Рис.9                            стремится к нулю, когда стремится к
                                                 нулю расстояние NN0.
      Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая че-
рез точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
      Замечание. В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну
касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
      Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, y), запишем её в неявном
виде F ( x; y; z ) = 0 , где F ( x; y; z ) – функция, дифференцируемая в точке
N 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) . Тогда касательная плоскость существует и имеет уравнение

                ⎛ ∂F ⎞                  ⎛ ∂F ⎞                  ⎛ ∂F ⎞
                ⎜    ⎟ ⋅ ( x − x 0 ) + ⎜⎜    ⎟⎟ ⋅ ( y − y 0 ) + ⎜    ⎟ ⋅ (z − z 0 ) = 0 .
                ⎝ ∂x ⎠ N0               ⎝ ∂y  ⎠ N0              ⎝ ∂z ⎠ N0

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:                 x − x0       y − y0     z − z0
                                                                      =           =
                                                            ⎛ ∂F ⎞      ⎛ ∂F ⎞      ⎛ ∂F ⎞
                                                            ⎜     ⎟     ⎜⎜     ⎟⎟   ⎜     ⎟
                                                            ⎝ ∂x ⎠ N 0 ⎝ ∂y ⎠ N     ⎝ ∂z ⎠ N 0
                                                                                 0


      Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно-
сти z = x 2 − 2 xy + y 2 − x + 2 y в точке М (1, 1, 1).




                                               55

Страницы